Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的對稱軸是直線，且拋物線與直線AB交于A、B兩點，其中A（1，3），B（6，n）.

（1）求拋物線的表達式和點B的坐標；

（2）設拋物線與y軸交于點C，在拋物線上是否存在一點M，滿足， 若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）B（6，8）.；（2）存在，（ ，18）或（，18）.

【解析】試題分析：（1）由對稱軸為3，可求出b的值，把A的坐標代入，即可得到c的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）聯結AC、BC，過A作AD⊥BC，垂足為點D，過M作ME⊥BC，垂足為點E．

由B（6，8）、C（0，8），得到BC∥x軸． 由，得到=10，從而得到M的縱坐標為18或設M（x，18）或M（x， ），把M的坐標代入拋物線解析式，即可求出x的值，從而得到結論．

試題解析：解：（1）∵拋物線的對稱軸是：直線，

∴

∴

又∵拋物線經過點A（1，3），

∴， …

∴拋物線表達式為：

又∵B（6，n）在拋物線上，代入得

∴

∴B（6，8）．

（2）存在．

聯結AC、BC，過A作AD⊥BC，垂足為點D，過M作ME⊥BC，

垂足為點E．

∵B（6，8）、C（0，8），

∴BC∥x軸．

又∵△ABC與△BCM同底， ，AD⊥BC，ME⊥BC，

．∴.

又∵A（1，3），

∴，

∴

∴M的縱坐標為18或．

解法一：設M（x，18）或M（x， ）

∵M在拋物線的圖像上，

∴令，解得，

令，方程無解，

∴點M的坐標是（，18）或（，18）．

解法二：∵拋物線的頂點坐標為（3， ）

∴M的縱坐標等于這種情況舍去．

．∵M在拋物線的圖像上，

∴代入，解得，

∴點M的坐標是（，18）或（，18）．