Question

【題目】隨著“一帶一路”的進一步推進，我國瓷器（“china”）更為“一帶一路”沿線人民所推崇，一外國商戶看準這一商機，向我國一瓷器經銷商咨詢工藝品茶具，得到如下信息：

（1）每個茶壺的批發價比茶杯多110元；

（2）一套茶具包括一個茶壺與四個茶杯；

（3）600元批發茶壺的數量與160元批發茶杯的數量相同．

根據以上信息：求茶壺與茶杯的批發價

（1）求茶壺與茶杯的批發價；

（2）若該商戶購進茶杯的數量是茶壺數量的5倍還多20個，并且茶壺數量不超過30個，該商戶打算將茶具按每套500元成套銷售，剩余的茶杯每個70元零售，應如何進貨才能使這批茶具獲利最多？并求出最大利潤．

Answer 1

【答案】(1) 茶杯的批發價為40元/個，則茶壺的批發價為150元/個;(2) 當購進30個茶壺、170個茶杯時，有最大利潤，最大利潤為7200元

【解析】

（1）設茶杯的批發價為x元/個，則茶壺的批發價為（x+110）元/個，根據數量=總價÷單價結合600元批發茶壺的數量與160元批發茶杯的數量相同，即可得出關于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出結論；
（2）設商戶購進茶壺m個，則購進茶杯（5m+20）個，設利潤為w，根據總利潤=單件利潤×銷售數量結合銷售方式，即可得出w關于m的函數關系式，利用一次函數的性質即可解決最值問題．

（1）設茶杯的批發價為x元/個，則茶壺的批發價為（x+110）元/個，

根據題意得：，

解得：x=40，

經檢驗，x=40是原分式方程的解，

∴x+110=150．

答：茶杯的批發價為40元/個，則茶壺的批發價為150元/個．

（2）設商戶購進茶壺m個，則購進茶杯（5m+20）個，

若利潤為w元，則w=m（500﹣150﹣4×40）+（5m+20﹣4m）×（70﹣40）=220m+600，

∵w隨著m的增大而增大，

∴當m取最大值時，利潤w最大，

∵m≤30，

∴當m=30時，w=7200．

∴當購進30個茶壺、170個茶杯時，有最大利潤，最大利潤為7200元．