Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c經過點A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△BCD的面積最大時，求點P的坐標；

(3)如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，N是線段EF上一動點，M（m，0）是x軸上一動點，若∠MNC=90°，直接寫出實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（，）；（3）

【解析】

（1）由y=-x2+bx+c經過點A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先令-x2+2x+3=0，求得點B的坐標，然后設直線BC的解析式為y=kx+b′，由待定系數法即可求得直線BC的解析式，再設P（a，3-a），即可得D（a，-a2+2a+3），即可求得PD的長，由S△BDC=S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC=，利用二次函數的性質，即可求得當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）首先過C作CH⊥EF于H點，則CH=EH=1，然后分別從點M在EF左側與M在EF右側時去分析求解即可求得答案．

解：（1）由題，解得：，

所以拋物線表達式為

（2）令，

∴.即

設直線的表達式為，

∴

∴

故直線的表達式為，

設，則

當時，的面積最大，此時

（3）的取值范圍是：