Question

觀察下列各式及其變形過程：
2 

2 3

=

23 3

=

2( 22-1)+2  22-1

=

2+  2 3

（1）按上述等式及其驗證過程的基本思路，猜想3

3 8

的變形結果并進行證明；
（2）針對上述各式反映的規律，寫出用n（n為自然數，n≥2）表示的算式，并證明；
（3）依上面規律，寫出用n表示下列各式的規律：2

2 5

=

2- 2 5

，3

3 10

=

3- 3 10

，…（不要求證明）．

Answer 1

（1）從題目的變形可以得出3

3 8

=

33 8

=

3( 32-1)+3  32-1

=

3+  3 8

．
證明：

3+  3 8

=

3×8+3 8

=

27 8

=

32×3  8

=3

3 8

．所以變形正確．

（2）從上面兩個變形可以看出3=2²-1，8=3²-1，
所以當為n時，分母為n²-1；
故當n≥2時，可以表示為n 

n n2-1

=

n+  n n2-1

；
證明：n 

n n2-1

=

n3 n2-1

=

n( n2-1)+n  n2-1

=

n+  n n2-1

．

（3）有5=2²+1，10=3²+1；故當為n時有
n

n n2+1

=

n-  n n2+1