Question

【題目】如圖，⊙O為Rt△ACB的外接圓，點P是AB延長線上的一點，PC切⊙O于點C，連AC

（1）若AC＝CP，求的值

（2）若sin∠APC＝，求tan∠ABC

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）連接OC，根據已知條件易證△ACO≌△PCB（AAS），根據全等三角形的性質可得OC＝BC＝OB，可判定△OBC為等邊三角形，即求得結論；（2）連接OC，先證△PCB∽△PAC，根據相似三角形的性質可得，再求得PC的長，即可求得結論.

試題解析：

（1）∵AC＝CP

∴∠A＝∠P

連接OC

∵PC切⊙O于點C

∴∠OCP＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠ACO＝∠PCB

在△ACO和△PCB中

∴△ACO≌△PCB（AAS）

∴OC＝BC＝OB

∴△OBC為等邊三角形

∴∠OBC＝60°，∠A＝∠P＝30°

∴

（2） 連接OC，

∵PC切于點C

∴∠OCP＝90°

∴∠PCB＋∠OCB＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠CAB＋∠CBA＝90°

∵OB＝OC

∴∠OBC＝∠OCB

∴∠PCB＝∠PAC

∴△PCB∽△PAC

∴

∵sin∠APC＝

∴設OC＝7，OP＝25，則OB＝OA＝7，BP＝18

∴

∴PC＝12

∴tan∠ABC＝