Question

（2012•鹽田區二模）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點P（2，

3

）為圓心的圓與y軸相切于點A，與x軸相交于B、C兩點（點B在點C的左邊）．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的

1

2

．如果存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；如果若不存在，請說明理由；
（3）如果一個動點D自點P出發，先到達y軸上的某點，再到達x軸上某點，最后運動到（1）中拋物線的頂點Q處，求使點D運動的總路徑最短的路徑的長．

Answer 1

分析：（1）連接PA，PB，PC，過點P作PG⊥BC于點G，求出P點的坐標，然后求得點A、B、C的坐標用待定系數法求得二次函數的解析式即可；
（2）因為△ABP和△CBP的面積是菱形ABCP面積的

1

2

，故過點A、C作BP的平行線，與拋物線的交點即是滿足條件的點M．
（3）將原方程配方后得到拋物線的頂點Q（2，-

3

3

），然后作點P關于y軸的對稱點P'，則P’（-2，

3

）．連接P'Q，則P'Q是最短總路徑，根據勾股定理，可得P′Q=

8 3

3

．

解答：解：（1）連接PA，PB，PC，過點P作PG⊥BC于點G，
∵⊙P與y軸相切于點A，
∴PA⊥y軸，
∵P（2，

3

），
∴OG=AP=2，PG=OA=

3

，
∴PB=PC=2，
∴BG=1，
∴CG=1，BC=2．
∴OB=1，OC=3．
∴A（0，

3

），B（1，0），C（3，0），
根據題意設二次函數解析式為：y=a（x-1）（x-3），
則(0-1)(0-3)a=

3

，
解得：a=

3

3

．
故二次函數的解析式為：y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

．

（2）∵點B（1，0），點P（2，

3

），
∴BP的解析式為：y=

3

x-

3

；
則過點A平行于BP的直線解析式為：y=

3

x+

3

，過點C平行于BP的直線解析式為：y=

3

x-3

3

l₂，
從而可得①：

3

x+

3

=

3

3

x²-

4 3

3

x+

3

，
解得：x₁=0，x₂=7，
從而可得滿足題意的點M的坐標為（0，

3

）、（7，8

3

）；
②

3

x-3

3

=

3

3

x²-

4 3

3

x+

3

，
解得：x₁=3，x₂=4，
從而可得滿足題意的點M的坐標為：（3，0）、（4，

3

）
綜上可得點M的坐標為（0，

3

），（3，0），（4，

3

），（7，8

3

）．

（3）∵y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

=

3

3

(x2-4x+3)=

3

3

(x-2)2-

3

3

，
∴拋物線的頂點Q（2，-

3

3

）．
作點P關于y軸的對稱點P'，則P'（-2，

3

）．
連接P'Q，則P'Q是最短總路徑，根據勾股定理，可得P'Q=

8 3

3

．
．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、軸對稱最短路徑、菱形的性質，難點在第二問，關鍵是利用平行線的性質得出點M的尋找辦法，難度較大．