Question

已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG；
（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45º，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明）

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）見解析，（1）中的結論仍然成立，
即EG=CG．其他的結論還有:EG⊥CG解析:
解：（1）證明：在Rt△FCD中，
∵G為DF的中點，
∴ CG= FD．………………1分
同理，在Rt△DEF中，   
EG= FD．  ………………2分
∴ CG=EG．…………………3分
（2）（1）中結論仍然成立，即EG=CG．…………………………4分
證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．
在△DAG與△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．………………………5分
在△DMG與△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分
在Rt△AMG 與Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴ EG=CG． ……………………………8分
證法二：延長CG至M,使MG=CG，
連接MF，ME，EC， ……………………4分
在△DCG 與△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG ≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．  
∴MF∥CD∥AB．………………………5分
∴EF="BE" ．
在Rt△MFE 與Rt△CBE中，
∵ MF=CB，EF=BE，
∴△MFE ≌△CBE．
∴ ∠MEF=∠CEB．…………………………………………………6分
∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分
∴ △MEC為直角三角形．
∵ MG = CG，
∴ EG= MC．
∴ EG=CG． ………………………………8分
（3）（1）中的結論仍然成立，
即EG=CG．其他的結論還有:EG⊥CG．……11分
（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，EG=  DF，CG=  DF，所以EG=CG．
（2）連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點,利用全等求出AG=CG，通過MG=NG，求出AG=EG，從而得到結論（3）利用三角形全等求證