Question

如圖，AB為⊙O直徑，且弦CD⊥AB于，過點的切線與AD的延長線交于點．
（1）若M是AD的中點，連接ME并延長ME交BC于N．求證：MN⊥BC．
（2）若cos∠C=

4

5

，DF=3，求⊙O的半徑．
（3）猜測線段AE、BE、CN、CB之間有怎樣的數量關系？證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由弦CD⊥AB，M是AD的中點，得到EM為直角三角形AED斜邊上的中線，則MA=ME，∠A=∠AEM，根據對頂角相等和同弧或等弧所對的圓周角相等得到∠AEM=∠BEN，∠ADE=∠EBN，則∠BEN+∠EBN=∠A+∠ADE=90°，則∠ENB=90°，即可得到結論；
（2）連BD，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，根據切線的性質得到∠ABF=90°，利用相似三角形的判定易得Rt△FBD∽Rt△FAB，則FB：AF=DF：BF，即FB²=FD•FA，根據同弧或等弧所對的圓周角相等得∠A=∠C，則cos∠A=

4

5

，在Rt△ABF中，cos∠A=

AB

AF

=

4

5

，不妨設AB=4x，則AF=5x，利用勾股定理可計算出BF=3x，則（3x）²=3•5x，解得x=

5

3

，易得到AB的長，即可得到⊙O的半徑；
（3）由AB⊥CD，根據垂徑定理得到CE=DE，易證得Rt△AED∽Rt△DEB，Rt△CEB∽Rt△CNE，則AE：DE=DE：BE，即DE²=AE•BE，CE：CN=CB：CE，即CE²=CN•CB，則可得AE•BE=CN•CB．

解答：（1）證明：∵弦CD⊥AB，M是AD的中點，
∴MA=ME，
∴∠A=∠AEM，
而∠AEM=∠BEN，∠ADE=∠EBN，
∴∠BEN+∠EBN=∠A+∠ADE=90°，
∴∠ENB=90°，
∴MN⊥BC；

（2）解：連BD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵FB為⊙O的切線，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴Rt△FBD∽Rt△FAB，
∴FB：AF=DF：BF，即FB²=FD•FA，
∵∠A=∠C，cos∠C=

4

5

，
∴cos∠A=

4

5

，
在Rt△ABF中，cos∠A=

AB

AF

=

4

5

，不妨設AB=4x，則AF=5x，
∴BF=

(5x)2-(4x)2

=3x，
∴（3x）²=3•5x，解得x₁=

5

3

，x₂=0
∴x=

5

3

，
∴AB=4x=

20

3

，
∴⊙O的半徑為

10

3

；

（3）解：線段AE、BE、CN、CB之間的數量關系為AE•BE=CN•CB．理由如下：
∵AB⊥CD，
∴CE=DE，∠AED=90°，
而∠ADB=90°，
∴∠A=EDB，
∴Rt△AED∽Rt△DEB，
∴AE：DE=DE：BE，即DE²=AE•BE①，
又∵∠CEB=∠CNE=90°，
∴Rt△CEB∽Rt△CNE，
∴CE：CN=CB：CE，即CE²=CN•CB②，
由①②得AE•BE=CN•CB．

點評：本題考查了圓的綜合題：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的��；圓的切線垂直于過切點的半徑；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角；運用相似三角形的判定與性質可得到線段的比例關系；運用勾股定理和三角函數進行幾何計算．