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已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h.

　　若點P在一邊BC上(如圖14-3-17①)，此時h3=0，可得結論：h1＋h2＋h3=h.

　　請直接應用上述信息解決下列問題：

　　當點P在△ABC內(如圖14-3-17②)、點P在△ABC外(如圖14-3-17③)這兩種情況時，上述結論是否還成立？若成立，請簡述理由；若不成立，h1、h2、h3與h之間又有怎樣的關系，請寫出你的猜想，不需證明.
答案：
解析：

 分析：這是一個閱讀理解題，以點P在等邊三角形的邊上為基礎，有結論“h1+h2+h3=h”成立，因此我們要把問題②③轉化成圖①的情景.過點P作NQ∥BC，分別交AB、AC、AM(或它們的延長線)于點N、Q、K(如下圖)，則△ANQ仍為等邊三角形，對應有類似“h1+h2+h3=h”的結論.

解：當點P在△ABC內部時，結論h1+h2+h3=h仍然成立.

如圖(1)，過點P作NQ∥BC，分別交AB、AC、AM于點N、Q、K，則△ANQ仍為等邊三角形，由①可知h1+h2=AK.

∵NQ∥BC，KM⊥BC，PF⊥BC ∴KM=PF=h3，∴h1+h2+h3=AK+KM=AM=h.

當點P在△ABC外部時，h1、h2、h3與h之間的關系為h1+h2-h3=h，如圖(2)，證法同上.

　


練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h．
在圖（1）中，點P是邊BC的中點，此時h3=0，可得結論：h1+h2+h3=h．
在圖（2），（3），（4），（5）中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內、△ABC外．
（1）請探究：圖（2），（3），（4），（5）中，h1、h2、h3、h之間的關系；（直接寫出結論）圖②-⑤中的關系依次是：
h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；
（2）證明圖（2）所得結論；
（3）證明圖（4）所得結論；
（4）（附加題2分）在圖（6）中，若四邊形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，點P在梯形內，且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h1、h2、h3、h4，橋形的高為h，則h1、h2、h3、h4、h之間的關系為：h1+h3+h4=
mhm-n
．圖（4）與圖（6）中的等式有何關系．
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科目：初中數學 來源： 題型：

31、已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h．
“若點P在一邊BC上（如圖1），此時h3=0，可得結論h1+h2+h3=h”
請直接應用上述信息解決下列問題：
（1）當點P在△ABC內（如圖2），（2）點P在△ABC外（如圖3）這兩種情況時，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，h1、h2、h3與h之間的關系如何？請寫出你的猜想，不需證明．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h．在圖①中，點P是邊BC的中點，由S△ABP+S△ACP=S△ABC得，
1
2
AB．h1+
1
2
AC．h2=
1
2
BC．h，可得h1+h2=h又因為h3=0，所以：h1+h2+h3=h．
圖②～⑤中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內、△ABC外．
（1）請探究：圖②～⑤中，h1、h2、h3、h之間的關系；（直接寫出結論）
（2）說明圖②所得結論為什么是正確的；
（3）說明圖⑤所得結論為什么是正確的．
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科目：初中數學 來源： 題型：

（2007•臨夏州）[（1）-（3），10分]如圖，已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h．
在圖（1）中，點P是邊BC的中點，此時h3=0，可得結論：h1+h2+h3=h．
在圖（2）--（5）中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內、△ABC外．
（1）請探究：圖（2）--（5）中，h1、h2、h3、h之間的關系；（直接寫出結論）
（2）證明圖（2）所得結論；
（3）證明圖（4）所得結論．
（4）在圖（6）中，若四邊形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，點P在梯形內，且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h1、h2、h3、h4，橋形的高為h，則h1、h2、h3、h4、h之間的關系為：
m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h
m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h
；圖（4）與圖（6）中的等式有何關系？

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科目：初中數學 來源： 題型：

已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊的AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，△ABC的高為h，請你探索以下問題：
（1）若點P在一邊BC上（圖1），此時h3=0，問h1、h2與h之間有怎樣的數量關系？請說明理由；
（2）若當點P在△ABC內（圖2），此時h1、h2、h3與h之間有怎樣的數量關系？請說明理由；
（3）若點P在△ABC外（圖3），此時h1、h2、h3與h之間有怎樣的數量關系
h=h1+h2-h3
h=h1+h2-h3
．（請直接寫出你的猜想，不需要說明理由．）

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