Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=2AB，∠BAC=90°，D是AC的中點，在Rt△DEA中，∠AED=90°，∠EAD=45°，連結BE、CE，試猜想BE和EC的關系，并證明你的猜想．
（1）猜想：

數量關系為：BE=EC，位置關系是：BE⊥EC

；
（2）證明：

∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一個銳角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中點，
∴AD=CD=

1

2

AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中，

AE=DE ∠EAB=∠EDC AB=DC

，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥EC

．

Answer 1

分析：數量關系為：BE=EC，位置關系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰直角三角形的性質，即可證得：△EAB≌△EDC即可證明．

解答：（1）解：數量關系為：BE=EC，位置關系是：BE⊥EC；

（2）證明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一個銳角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中點，
∴AD=CD=

1

2

AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中，

AE=DE ∠EAB=∠EDC AB=DC

，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥EC．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與應用，證明線段相等的問題一般的解決方法是轉化為證明三角形全等．