Question

如圖，已知∠AOB=45°，P是∠AOB內部一點，且OP=

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，點E、F分別在OA、OB上，則△PEF周長的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：確定動點為何位置時，△PEF周長的最小值，再根據等腰直角三角形的性質計算．

解答：解：作出點P關于直線OA的對稱點M，關于直線OB的對稱點N，
任意取OA上一點Q，OB上一點R，
由對稱點的性質：QM=QP，RN=RP
所以三角形PQR的周長=PQ+QR+RP=MQ+QR+RN．
由兩點間直線最短，
所以只有當Q，R在線段MN上時，上面的式子取最小值．
也就是說只要連接MN，它分別與OA，OB的交點E，F即為所求．
這時三角形PEF的周長=MN，只要求MN的長就行了．
容易知道OM=ON=OP=

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，∠MOA=∠AOP，∠POB=∠BON．
所以∠MON=∠MOA+∠AOP+∠POB+∠BON=2（∠AOP+∠POB）=2∠AOB=90度．
所以三角形MON是等腰直角三角形，直角邊等于

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，易求得斜邊MN=2，
也就是說，三角形PEF的周長的最小值=MN=2．

點評：此題考查了線路最短的問題，確定動點為何位置時，△PEF周長的最小是關鍵．