Question

（2013•北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx²-2mx-2（m≠0）與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B．
（1）求點A，B的坐標；
（2）設直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線l的解析式；
（3）若該拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線l的上方，并且在2＜x＜3這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到點A的坐標，求出對稱軸解析式，即可得到點B的坐標；
（2）求出點A關于對稱軸的對稱點（2，-2），然后設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求一次函數解析式解答即可；
（3）根據二次函數的對稱性判斷在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關于對稱軸對稱，然后判斷出拋物線與直線l的交點的橫坐標為-1，代入直線l求出交點坐標，然后代入拋物線求出m的值即可得到拋物線解析式．

解答：解：（1）當x=0時，y=-2，
∴A（0，-2），
拋物線的對稱軸為直線x=-

-2m

2m

=1，
∴B（1，0）；

（2）易得A點關于對稱軸直線x=1的對稱點A′（2，-2），
則直線l經過A′、B，
設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

2k+b=-2 k+b=0

，
解得

k=-2 b=2

，
所以，直線l的解析式為y=-2x+2；

（3）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關于對稱軸對稱，
結合圖象可以觀察到拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線l的上方，在-1＜x＜0這一段位于直線l的下方，
∴拋物線與直線l的交點的橫坐標為-1，
當x=-1時，y=-2×（-1）+2=4，
所以，拋物線過點（-1，4），
當x=-1時，m+2m-2=4，
解得m=2，
∴拋物線的解析式為y=2x²-4x-2．

點評：本題考查了二次函數的性質，一次函數圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征，第（3）小題較難，根據二次函數的對稱性求出拋物線經過的點（-1，4）是解題的關鍵．