Question

【題目】如圖,四 邊形OABC是矩形,點A、C在坐標軸上，△ODE是由△OCB繞點O順時針旋轉90°得到的,點D在X軸上，直線BD交Y軸于點F,交OE于點H,線段BC、OC的長是方程x2-6x+8=0的兩個根，且OC＞BC.

（1）求直線BD的解析式.

（2）求 △OFH的面積.

（3）點M在坐標軸上，平面內是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】解：y=-x+；（2）；（3）存在滿足條件的N點，其坐標為（，-）或（-4，-）或（4，）．

【解析】

（1）解方程可求得OC、BC的長，可求得B、D的坐標，利用待定系數法可求得直線BD的解析式；

（2）可求得E點坐標，求出直線OE的解析式，聯立直線BD、OE解析式可求得H點的橫坐標，可求得△OFH的面積；

（3）當△MFD為直角三角形時，可找到滿足條件的點N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三種情況，分別求得M點的坐標，可分別求得矩形對角線的交點坐標，再利用中點坐標公式可求得N點坐標．

（1）解方程x2-6x+8=0可得x=2或x=4，

∵BC、OC的長是方程x2-6x+8=0的兩個根，且OC＞BC，

∴BC=2，OC=4，

∴B（-2，4），

∵△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉90°得到的，

∴OD=OC=4，DE=BC=2，

∴D（4，0），

設直線BD解析式為y=kx+b，

把B、D坐標代入可得，解得，

∴直線BD的解析式為y=-x+；

（2）由（1）可知E（4，2），

設直線OE解析式為y=mx，

把E點坐標代入可求得m=，

∴直線OE解析式為y=x，

令，解得x=，

∴H點到y軸的距離為，

又由（1）可得F（0，），

∴OF=，

∴S△OFH=××=；

（3）∵以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形，

∴△DFM為直角三角形，

①當∠MFD=90°時，則M只能在x軸上，連接FN交MD于點G，如圖1，

由（2）可知OF=，OD=4，

則有△MOF∽△FOD，

∴，即，解得OM=，

∴M（-，0），且D（4，0），

∴G（，0），

設N點坐標為（x，y），則，，

解得x=，y=-，此時N點坐標為（，-）；

②當∠MDF=90°時，則M只能在y軸上，連接DN交MF于點G，如圖2，

則有△FOD∽△DOM，

∴，即，解得OM=6，

∴M（0，-6），且F（0，），

∴MG=MF=，則OG=OM-MG=6-=，

∴G（0，-），

設N點坐標為（x，y），則 =0，，

解得x=-4，y=-，此時N（-4，-）；

③當∠FMD=90°時，則可知M點為O點，如圖3，

∵四邊形MFND為矩形，

∴NF=OD=4，ND=OF=，

可求得N（4，）；

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，-）或（-4，-）或（4，）．