Question

【題目】如圖，四邊形在平面直角坐標系的第一象限內，其四個頂點分別在反比例函數與的圖象上，對角線于點，軸于點．

（1）若，試求的值；

（2）當，點是線段的中點時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

（3）直線與軸相交于點．當四邊形為正方形時，請求出的長度．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（2）四邊形ABCD為菱形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）由點N的坐標及CN的長度可得出點C的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出點n的值；

（2）利用反比例函數圖象上點的坐標特征可得出點A，C的坐標，結合點P為線段AC的中點可得出點P的坐標，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可得出點B，D的坐標，結合點P的坐標可得出BP=DP，利用“對角線互相垂直平分的四邊形為菱形”可證出四邊形ABCD為菱形；

（3）利用正方形的性質可得出AC=BD且點P為線段AC及BD的中點，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出點A，C，B，D的坐標，結合AC=BD可得出關于n的方程，解之即可得出結論．

（1）∵點N的坐標為（2，0），CN⊥x軸，且，

∴點C的坐標為（2，）．

∵點C在反比例函數的圖象上，

∴n=2×=1．

（2）四邊形ABCD為菱形，理由如下：

當n=2時，．

當x=2時，，

∴點C的坐標為（2，1），點A的坐標為（2，4）．

∵點P是線段AC的中點，

∴點P的坐標為（2，）．

當y=時，，

解得：，

∴點B的坐標為，點D的坐標為，

∴，

∴BP=DP．

又∵AP=CP，AC⊥BD，

∴四邊形ABCD為菱形．

（3）∵四邊形ABCD為正方形，

∴AC=BD，且點P為線段AC及BD的中點．

當x=2時，y1=n，y2=2n，

∴點A的坐標為（2，2n），點C的坐標為（2，n），AC=n，

∴點P的坐標為．

同理，點B的坐標為，點D的坐標為，．

∵AC=BD，

∴，

∴，

∴點A的坐標為，點B的坐標為．

設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A，B代入y=kx+b，得：，

解得：，

∴直線AB的解析式為y=x+．

當x=0時，y=x+，

∴點E的坐標為（0，），

∴當四邊形ABCD為正方形時，OE的長度為．