Question

已知如圖，?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延長線相交于G．
（1）求證：AB=BH；
（2）若GA=10，HE=2．求AB的值．

Answer 1

（1）證明：∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH=∠DEC=∠BFC=90°，
∴∠HBE+∠C=90°，∠CDE+∠C=90°，
∴∠HBE=∠CDE，
∵∠DBC=45°，∠DEB=90°，
∴∠BDE=45°=∠DBE，
∴BE=DE，
∵在△BHE和△DEC中
，
∴△BHE≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
∴AB=BH．

（2）解：設BE=a，則BC=AD=a+2，DE=BE=a，DH=a-2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴△DHG∽△EHB，
∴=，
∵AG=10，
∴=，
解得：a=4，
BE=DE=4，
在△DEC中，EC=EH=2，DE=4，由勾股定理得：CD=2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=2．
分析：（1）求出BE=DE，根據垂直推出∠CDE=∠HBE，證△BHE≌△DEC，推出BH=CD即可．
（2）根據AD∥BC推出三角形相似，得出比例式，求出BE的值，在△DEC中根據勾股定理求出CD即可．
點評：本題考查了對平行四邊形性質，相似三角形的性質和判定，勾股定理，全等三角形的性質和判定等知識點的應用，通過做此題培養了學生運用性質進行推理的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度．