Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分線交AC于E，DE⊥BE．
（1）試說明AC是△BED外接圓的切線；
（2）若CE=1，BC=2，求△ABC內切圓的面積．

Answer 1

（1）證明：作BD的中點O，連接OE．
∵DE⊥BE，
∴BD是圓的直徑．
∵OB=OE，
∴∠EBO=∠BEO，
又∵∠CBE=∠EBO，
在直角△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠BEO=90°，即∠CEO=90°．
∴OE⊥AC，
∴AC是△BED外接圓的切線；

（2）解：設BC于圓交于點F，連接DF，OF．
∵CE是圓的切線，
∴CE²=CF•CB
∴CF==．
∵BD是圓的直徑，
∴∠BFD=90°，
∴DF∥AC，
∵OE⊥AC，
∴OE⊥DF，
∴四邊形CFME是矩形．
∴MF=CE，ME=CF=，
設圓的半徑是x，則在直角△OMF中，OF=x，OM=x-．
∵OF²=MF²+OM²，
∴x2=（x-）²+1，
解得：x=．
∴圓的面積是：π（）²=．
分析：（1）根據圓周角定理即可證得BD是外接圓的直徑，則作出BD的中點就是圓的圓心，連接OE，證明OE⊥AC即可證得AC是切線；
（2）設BC于圓交于點F，連接DF，OF．則四邊形CFME即可證得是矩形，在直角△OFM中，利用勾股定理即可得到一個關于半徑的方程，求得半徑的長，從而求得圓的面積．
點評：本題考查了圓的切線的判定，以及圓周角定理，正確作出輔助線，證明四邊形CFME是矩形是關鍵．