【題目】如圖,在等邊中,點
,
分別是
,
上的動點,且
,
交
于點
.
(1)如圖1,求證;
(2)點是邊
的中點,連接
,
.
①如圖2,若點,
,
三點共線,則
與
的數量關系是 ;
②若點,
,
三點不共線,如圖3,問①中的結論還成立嗎?若成立,請給出證明,若不成立,請說明理由.
【答案】(1)證明過程見詳解;(2)①;②結論成立,證明見詳解
【解析】
(1)先證明,得出對應角相等,然后利用四邊形的內角和和對頂角相等即可得出結論;
(2)①;由等邊三角形的性質和已知條件得出AM⊥BC,∠CAP=30°,可得PB=PC,由∠BPC=120°和等腰三角形的性質可得∠PCB=30°,進而可得AP=PC,由30°角的直角三角形的性質可得PC=2PM,于是可得結論;
②延長BP至D,使PD=PC,連接AD、CD,根據SAS可證△ACD≌△BCP,得出AD=BP,∠ADC=∠BPC=120°,然后延長PM至N,使MN=MP,連接CN,易證△CMN≌△BMP(SAS),可得CN=BP=AD,∠NCM=∠PBM,最后再根據SAS證明△ADP≌△NCP,即可證得結論.
(1)證明:因為△ABC為等邊三角形,所以
∵ ,∴
,∴
,
在四邊形AEPD中,∵,
∴,
∴,∴
;
(2)①如圖2,∵△ABC是等邊三角形,點M是邊BC的中點,
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,AM⊥BC,∠CAP=∠BAC=30°,∴PB=PC,
∵∠BPC=120°,∴∠PBC=∠PCB=30°,
∴PC=2PM,∠ACP=60°﹣30°=30°=∠CAP,
∴AP=PC,∴AP=2PM;
故答案為:;
②AP=2PM成立,理由如下:
延長BP至D,使PD=PC,連接AD、CD,如圖4所示:則∠CPD=180°﹣∠BPC=60°,
∴△PCD是等邊三角形,
∴CD=PD=PC,∠PDC=∠PCD=60°,
∵△ABC是等邊三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°=∠PCD,
∴∠BCP=∠ACD,
∴△ACD≌△BCP(SAS),
∴AD=BP,∠ADC=∠BPC=120°,
∴∠ADP=120°﹣60°=60°,
延長PM至N,使MN=MP,連接CN,
∵點M是邊BC的中點,∴CM=BM,
∴△CMN≌△BMP(SAS),
∴CN=BP=AD,∠NCM=∠PBM,
∴CN∥BP,∴∠NCP+∠BPC=180°,
∴∠NCP=60°=∠ADP,
在△ADP和△NCP中,∵AD=NC,∠ADP=∠NCP,PD=PC,
∴△ADP≌△NCP(SAS),
∴AP=PN=2CM;
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,若將四根木條釘成的矩形木框ABCD變形為平行四邊形A′BCD′,并使其面積為矩形ABCD面積的一半,若A′D′與CD交于點E,且AB=2,則△ECD′的面積是_____.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的內切圓與三邊分別相切于點D、E、F,則下列等式:
①∠EDF=∠B;
②2∠EDF=∠A+∠C;
③2∠A=∠FED+∠EDF;
④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°,其中成立的個數是( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中有點A(﹣4,0)、B(0,3)、P(a,﹣a)三點,線段CD與AB關于點P中心對稱,其中A、B的對應點分別為C、D
(1)當a=﹣4時
①在圖中畫出線段CD,保留作圖痕跡
②線段CD向下平移 個單位時,四邊形ABCD為菱形;
(2)當a= 時,四邊形ABCD為正方形.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】小張去文具店購買作業本,作業本有大、小兩種規格,大本作業本的單價比小本作業本貴0.3元,已知用8元購買大本作業本的數量與用5元購買小本作業本的數量相同.
(1)求大本作業本與小本作業本每本各多少元?
(2)因作業需要,小張要再購買一些作業本,購買小本作業本的數量是大本作業本數量的2倍,總費用不超過15元.則大本作業本最多能購買多少本?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某校為了了解學生對語文、數學、英語、物理四科的喜愛程度(每人只選一科),特對八年級某班進行了調查,并繪制成如下頻數和頻率統計表和扇形統計圖:
科目 | 頻數 | 頻率 |
語文 | 0.5 | |
數學 | 12 | |
英語 | 6 | |
物理 | 0.2 |
(1)求出這次調查的總人數;
(2)求出表中的值;
(3)若該校八年級有學生1000人,請你算出喜愛英語的人數,并發表你的看法.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1的正方形網格中建立平面直角坐標系,已知△ABC三個頂點分別為A(﹣1,2)、B(2,1)、C(4,5).
(1)畫出△ABC關于x對稱的△A1B1C1;
(2)以原點O為位似中心,在x軸的上方畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC位似,且位似比為2,并求出△A2B2C2的面積.
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