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【題目】如圖,在等邊中,點,分別是,上的動點,且,于點

1)如圖1,求證;

2)點是邊的中點,連接,

①如圖2,若點,三點共線,則的數量關系是 ;

②若點,,三點不共線,如圖3,問①中的結論還成立嗎?若成立,請給出證明,若不成立,請說明理由.

【答案】1)證明過程見詳解;(2)①;結論成立,證明見詳解

【解析】

1)先證明,得出對應角相等,然后利用四邊形的內角和和對頂角相等即可得出結論;

2)①;由等邊三角形的性質和已知條件得出AMBC,∠CAP30°,可得PBPC,由∠BPC120°和等腰三角形的性質可得∠PCB30°,進而可得APPC,由30°角的直角三角形的性質可得PC2PM,于是可得結論;

②延長BPD,使PDPC,連接ADCD,根據SAS可證△ACD≌△BCP,得出ADBP,∠ADC=∠BPC120°,然后延長PMN,使MNMP,連接CN,易證△CMN≌△BMPSAS),可得CNBPAD,∠NCM=∠PBM,最后再根據SAS證明△ADP≌△NCP,即可證得結論.

1)證明:因為△ABC為等邊三角形,所以

,∴ ,∴,

在四邊形AEPD中,∵,

,

,∴;

2)①如圖2,∵△ABC是等邊三角形,點M是邊BC的中點,

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB60°,AMBC,∠CAPBAC30°,∴PBPC,

∵∠BPC120°,∴∠PBC=∠PCB30°,

PC2PM,∠ACP60°30°30°=∠CAP

APPC,∴AP2PM;

故答案為:;

AP2PM成立,理由如下:

延長BPD,使PDPC,連接AD、CD,如圖4所示:則∠CPD180°﹣∠BPC60°

∴△PCD是等邊三角形,

CDPDPC,∠PDC=∠PCD60°,

∵△ABC是等邊三角形,∴BCAC,∠ACB60°=∠PCD,

∴∠BCP=∠ACD

∴△ACD≌△BCPSAS),

ADBP,∠ADC=∠BPC120°,

∴∠ADP120°60°60°

延長PMN,使MNMP,連接CN,

∵點M是邊BC的中點,∴CMBM,

∴△CMN≌△BMPSAS),

CNBPAD,∠NCM=∠PBM,

CNBP,∴∠NCP+BPC180°,

∴∠NCP60°=∠ADP,

在△ADP和△NCP中,∵AD=NC,∠ADP=NCPPD=PC,

∴△ADP≌△NCPSAS),

APPN2CM;

練習冊系列答案
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科目

頻數

頻率

語文

0.5

數學

12

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2)求出表中的值;

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