Question

【題目】如圖，點A是⊙O直徑BD延長線上的一點，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據等腰三角形的性質：等邊對等角，以及直徑所對的圓周角是直角，利用等量代換證得∠ACO=90°，據此即可證得；

（2）易證∠A=∠B=∠1=∠2=30°，即可求得AC的長，作CE⊥AB于點E，求得CE的長，利用三角形面積公式求解．

試題解析：（1）連接OC．∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2，∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，又∵BD是直徑，∴∠BCD=90°，∴∠ACO=90°，又C在⊙O上，∴AC是⊙O的切線；

（2）由題意可得△DCO是等腰三角形，∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，在直角△BCD中，BC===．又AC=BC，∴AC=．作CE⊥AB于點E．

在直角△BEC中，∠B=30°，∴CE=BC=，∴S△ABC=ABCE=×6×=．