Question

探索歸納：

（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于  （     )

A. 90°   B. 135°     C. 270°       D. 315°

（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1＋∠2＝_______

（3）如圖2，根據（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1＋∠2與∠A的關系是________________

（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1＋∠2與∠A的關系并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵四邊形的內角和為360°，直角三角形中兩個銳角和為90°

∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-90°=270°．

∴∠1+∠2等于270°．C；

（2）∠1+∠2=180°+40°=220°．220°；

（3）∠1+∠2=180°+∠A；

（4）方法一:∵△EFP是由△EFA折疊得到的

    ∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF

    ∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF

    ∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）

    又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A

    ∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A

方法二: ∵∠1+∠PFE=∠AEF+∠A, ∠2+∠PEF=∠AFE+∠A

∴∠1+∠PFE+∠2+∠PEF=∠AEF+∠AFE+2∠A

∵△EFP是由△EFA折疊得到的

∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF

∴∠1+∠2=2∠A

【解析】(1) 本題利用了四邊形內角和為360°和直角三角形的性質求解；

(2) 根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和求解；

(3)根據（1）、（2）歸納出結論；

(4) 折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性質可得結論∠BDA′=2∠A圖2中∠A與∠DA′E是相等的，再結合四邊形的內角和及互補角的性質可得結論∠BDA′+∠CEA′=2∠A圖3中由于折疊∠A與∠DA′E是相等的，再兩次運用三角形外角的性質可得結論．