Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點，B兩點，與y軸交于點，拋物線的頂點在直線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為第一象限內拋物線上的一個動點，過點P做軸交BC于點Q，求線段PQ長度的最大值，及此時點P的坐標；

（3）點M在x軸上，點N在拋物線的對稱軸上，若以點M，N，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ長度的最大值為,點P的坐標為；（3）點M的坐標為，，．

【解析】

（1）根據對稱軸為直線x=1，和點A坐標可知點B坐標，由點A，B，C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）先求出過B，C兩點的直線解析式，之后即可設出，，再根據兩點之間的距離公式，即可得出，化成頂點式即可求出答案；

（3）設點M的坐標為（m,0），點N的坐標為（1，n）.分四邊形CBMN為平行四邊形，四邊形CMBN為平行四邊形，四邊形CMBN為平行四邊形三種情況，利用平行四邊形的性質找出關于m的一元一次方程，解答即可得出答案.

解（1）∵對稱軸為直線x=1，點A坐標為（-1,0），

∴點B坐標為（3,0）

將A（-1,0），B（3,0），C（0,3）代入中有：

，

解得：

∴拋物線解析式為：．

（2）設過B，C兩點的直線解析式為

將B（3,0），C（0,3）代入解得b=3,k=-1，

∴直線BC的解析式為．

設點，．

∴．

∴

∴當時，長度的最大值為．

此時，．

∴點P的坐標為．

（3）設點M的坐標為（m,0），點N的坐標為（1，n）.分三種情況考慮：

①如圖1，當四邊形CBMN為平行四邊形時，有1-0=m-3，解得m=4，

所以此時點M的坐標為（4,0）

②如圖2，當四邊形CMBN為平行四邊形時，有m-1=0-3，解得m=-2，

所以此時點M的坐標為（-2,0）

③如圖3，當四邊形CMBN為平行四邊形時，有0-1=m-3，解得m=2，

所以此時點M的坐標為（2,0）；

綜上，點M的坐標為，，．