Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，長方形OABC的頂點A、C的坐標分別為（3，0），（0，5）．
（1）直接寫出點B的坐標；
（2）若過點C的直線CD交AB邊于點D，且把長方形OABC的周長分為1：3兩部分，求直線CD的解析式；
（3）設點P沿O-A-B-C的方向運動到點C（但不與點O、C重合），求△OPC的面積y與點P所行路程x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：點B的橫坐標和點A的橫坐標相等，點B的縱坐標和點C的縱坐標相等，所以可以求出B點的坐標；
（2）設直線CD的解析式為y=kx+b，利用已知條件求出D點的坐標，再把C、D的橫縱坐標分別代入求出k和b即可；
（3）此小題需要分3種情況討論：①當點P在OA上運動時，設P（x，0）；②當點P在AB上運動時，設P（3，3-x）；③當點P在BC上運動時，設P（11-x，5），利用三角形的面積公式，再分別表示出△OPC的面積y與點P所行路程x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍即可．

解答：解：（1）B（3，5）；

（2）如圖1，
∵長方形OABC中，A（3，0），B（3，5），C（0，5），
∴OA=3，AB=5，BC=3，OC=5，
∴長方形OABC的周長為16，
∵直線CD分長方形OABC的周長分為1：3兩部分，
∴CB+BD=4，CO+OA+AD=12，
∴AD=4，
∴D（3，4），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
∴

5=b 4=3k+b.

，
∴k=-

1

3

，b=5，
∴直線CD的解析式為：y=-

1

3

x+5；

（3）①當點P在OA上運動時，P（x，0）．
∴S△OPC=

1

2

OC•OP=

5

2

x，
∴y與x的函數關系式為y=

5

2

x(0＜x＜3)，
②當點P在AB上運動時，P（3，3-x），
∴S△OPC=

1

2

OC•|xP|=

1

2

×5×3=

15

2

，
∴y與x的函數關系式為y=

15

2

(3≤x≤8)，
③當點P在BC上運動時，P（11-x，5），
∴PC=|11-x|=11-x．
∴S△OPC=

1

2

OC•PC=

5

2

(11-x)=-

5

2

x+

55

2

 (8＜x＜11)，
∴y與x的函數關系式為y=-

5

2

x+

55

2

 (8＜x＜11)．

點評：本題考查了用待定系數法求一次函數的解析式，利用一次函數確定線段的長度，根據三角形的面積公式建立函數關系，也考查了矩形的性質以及分類討論思想的運用．