Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點坐標為M，與x軸相交于A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸相交于點C．

（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點式：（），并指出頂點M的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上找點R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和點R的坐標；

（3）以AB為直徑作⊙N交拋物線于點P（點P在對稱軸的左側），求證：直線MP是⊙N的切線．

Answer 1

【答案】（1），M（，）；（2），（，）；（3）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）利用配方法把一般式轉化為頂點式，然后根據二次函數的性質求出拋物線的頂點坐標；

（2）連接BC，則BC與對稱軸的交點為R，此時CR+AR的值最小；先求出點A、B、C的坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式，進而求出其最小值和點R的坐標；

（3）設點P坐標為（x，）．根據NPAB=，列出方程，解方程得到點P坐標，再計算得出，由勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切線的判定定理即可證明直線MP是⊙N的切線．

試題解析：（1）∵=，∴拋物線的解析式化為頂點式為：，頂點M的坐標是（，）；

（2）∵，∴當y=0時，，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0時，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．連接BC，則BC與對稱軸x=的交點為R，連接AR，則CR+AR=CR+BR=BC，根據兩點之間線段最短可知此時CR+AR的值最小，最小值為BC==．設直線BC的解析式為，∵B（6，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直線BC的解析式為：，令x=，得y==，∴R點坐標為（，）；

（3）設點P坐標為（x，）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（，0），∴以AB為直徑的⊙N的半徑為AB=，∴NP=，即，移項得，，得：，整理得：，解得（與A重合，舍去），，（在對稱軸的右側，舍去），（與B重合，舍去），∴點P坐標為（2，2）．∵M（，），N（，0），∴==，==， ==，∴，∴∠MPN=90°，∵點P在⊙N上，∴直線MP是⊙N的切線．