Question

【題目】如圖①，在矩形中，點從邊的中點出發，沿著速運動，速度為每秒2個單位長度，到達點后停止運動，點是上的點，，設的面積為，點運動的時間為秒，與的函數關系如圖②所示.

(1)圖①中= ，= ，圖②中= .

(2)當=1秒時，試判斷以為直徑的圓是否與邊相切?請說明理由:

(3)點在運動過程中，將矩形沿所在直線折疊，則為何值時，折疊后頂點的對應點落在矩形的一邊上.

Answer 1

【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，證明見解析；（3）t=、5、.

【解析】

（1）由題意得出AB=2BE，t=2時，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11時，2t=22，得出BC=18，當t=0時，點P在E處，m=△AEQ的面積=AQ×AE=20即可；
（2）當t=1時，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出PQ=2，設以PQ為直徑的圓的圓心為O'，作O'N⊥BC于N，延長NO'交AD于M，則MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，由三角形中位線定理得出O'M=AP=3，求出O'N=MN-O'M=5＜圓O'的半徑，即可得出結論；
（3）分三種情況：①當點P在AB邊上，A'落在BC邊上時，作QF⊥BC于F，則QF=AB=8，BF=AQ=10，由折疊的性質得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出A'F==6，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②當點P在BC邊上，A'落在BC邊上時，由折疊的性質得：A'P=AP，證出∠APQ=∠AQP，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；
③當點P在BC邊上，A'落在CD邊上時，由折疊的性質得：A'P=AP，A'Q=AQ=10，在Rt△DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA'=6，得出A'C=CD-DA'=2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）∵點P從AB邊的中點E出發，速度為每秒2個單位長度，
∴AB=2BE，
由圖象得：t=2時，BE=2×2=4，
∴AB=2BE=8，AE=BE=4，
t=11時，2t=22，
∴BC=22-4=18，
當t=0時，點P在E處，m=△AEQ的面積=AQ×AE=×10×4=20；
故答案為：8，18，20；
（2）當t=1秒時，以PQ為直徑的圓不與BC邊相切，理由如下：
當t=1時，PE=2，
∴AP=AE+PE=4+2=6，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴PQ=，
設以PQ為直徑的圓的圓心為O'，作O'N⊥BC于N，延長NO'交AD于M，如圖1所示：

則MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，
∵O'為PQ的中點，
∴O'M是△APQ的中位線，
∴O'M=AP=3，
∴O'N=MN-O'M=5＜，
∴以PQ為直徑的圓不與BC邊相切；
（3）分三種情況：①當點P在AB邊上，A'落在BC邊上時，作QF⊥BC于F，如圖2所示：

則QF=AB=8，BF=AQ=10，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，
由折疊的性質得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，
∴A'F==6，
∴A'B=BF-A'F=4，
在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，
由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，
解得：t=；
②當點P在BC邊上，A'落在BC邊上時，連接AA'，如圖3所示：

由折疊的性質得：A'P=AP，
∴∠APQ'=∠A'PQ，
∵AD∥BC，
∴∠AQP=∠A'PQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ=A'P=10，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP==6，
又∵BP=2t-4，

∴2t-4=6，解得：t=5；
③當點P在BC邊上，A'落在CD邊上時，連接AP、A'P，如圖4所示：

由折疊的性質得：A'P=AP，A'Q=AQ=10，
在Rt△DQA'中，DQ=AD-AQ=8，
由勾股定理得：DA'==6，
∴A'C=CD-DA'=2，
在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t，
由勾股定理得：AP2=82+（2t-4）2，A'P2=22+（22-2t）2，
∴82+（2t-4）2=22+（22-2t）2，
解得：t=；
綜上所述，t為或5或時，折疊后頂點A的對應點A′落在矩形的一邊上．