Question

【題目】已知：關于x的函數y=kx2+k2x﹣2的圖象與y軸交于點C，

（1）當k=﹣2時，求圖象與x軸的公共點個數；

（2）若圖象與x軸有一個交點為A，當△AOC是等腰三角形時，求k的值．

（3）若x≥1時函數y隨著x的增大而減小，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）圖象與x軸公共點只有一個；（2）k的值為﹣1+或﹣1﹣或1；（3）﹣2≤k＜0．

【解析】分析：（1）△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點（或者把k=-2代入函數關系，直接求得拋物線與x軸的交點橫坐標）；
（2）根據△AOC是等腰直角三角形易求點A的坐標為（2，0）或（-2，0）．把點A的坐標代入函數解析式，通過方程來求k的值；
（3）由“k≥1時函數y隨著x的增大而減小”可知，拋物線開口向下．則k<0，且對稱軸在直線x=1的左側，故﹣≤1，即≤1.

詳解：（1）方法一：當k=﹣2時，函數為y=﹣2x2+4x﹣2，

∵b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×（﹣2）=0.

∴圖象與x軸公共點只有一個．

方法二：當k=﹣2時，函數為y=﹣2x2+4x﹣2，

令y=0，則﹣2x2+4x﹣2=0，

解得：x1=x2=1，

∴圖象與x軸公共點只有一個；

（2）當△AOC是等腰三角形時，

∵∠AOC=90°，OC=2，

∴可得OA=OC=2.

∴點A的坐標為（2，0）或（﹣2，0）．

把x=2，y=0代入解析式 得2k2+4k﹣2=0，

解得 k1=﹣1+，k1=﹣1﹣，

把x=﹣2，y=0代入解析式 得﹣2k2+4k﹣2=0，

解得 k1=k2=1．

∴k的值為﹣1+或﹣1﹣或1；

（3）由“x≥1時函數y隨著x的增大而減小”可知，拋物線開口向下，

∴k＜0，且對稱軸在直線x=1的左側，

∴﹣≤1，即≤1．

解不等式組，

解得﹣2≤k＜0．