Question

12．已知等腰三角形的底邊長為20，面積為$\frac{100}{3}\sqrt{3}$，求等腰三角形的三個內角及腰長．

Answer 1

分析 如圖，AB=AC，BC=20，作AD⊥BC于D，根據等腰三角形的性質得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=10，∠C=∠B，先利用面積公式可計算出AD=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，再在Rt△ADB中利用正切的定義可求出∠B=30°，則AB=2AD=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，∠C=∠B=30°，然后根據三角形內角和可求出∠BAC=120°．

解答 解：如圖，AB=AC，BC=20，
作AD⊥BC于D，則BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=10，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AD=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△ADB中，∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{10}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠B=30°，
∴AB=2AD=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°．
答：等腰三角形的三個內角分別為30°、30°、120°，腰長為$\frac{20\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性質．