Question

【題目】某校九年級數學小組在課外活動中，研究了同一坐標系中兩個反比例函數與 在第一象限圖象的性質，經歷了如下探究過程：

操作猜想：

（1）如圖①，當，時，在軸的正方向上取一點作軸的平行線交于點，交于點.當時，________，________，________；當時，________，________，________；當時，猜想________.

數學思考：

（2）在軸的正方向上任意取點作軸的平行線，交于點、交于點，請用含、的式子表示的值，并利用圖②加以證明.

推廣應用：

（3）如圖③，若，，在軸的正方向上分別取點、 作軸的平行線，交于點、，交于點、，是否存在四邊形是正方形？如果存在，求的長和點的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，，，；，，，；（2），理由見解析；（3）存在，，點的坐標為，理由見解析

【解析】

（1）只需根據ABOA=2及ACOA=6就可解決問題；

（2）由AB·OA=k1，AC·OA=k2可得BC·OA= k2-k1，就可得到；

（3）設點B的坐標為（a，b）(a>0，b>0)，則有DF=DA=AB=a，OA=b，從而可得到點F的坐標（a，a+b），由k2=12及，可求得k1=8，根據點B、F分別在兩支圖像上，可得到ab=8，a（a+b）=12，從而求出a，b的值

（1）當OA=1時,由ABOA=2得AB=2,由ACOA=6得AC=6,則有BC=ACAB=4,所以=2；

當OA=3時,由ABOA=2得AB=,由ACOA=6得AC=2,則有BC=ACAB=,所以=2；

當時，猜想.

（2）

證明：∵，，

∴，

∴ .

（3）若四邊形是正方形，

設點的坐標為（，），

則有，，，

∴點的坐標為.

∵，，

∴，

解得：.

∵點在圖象上，點在圖象上，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，點的坐標為.