Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線 ()經過、兩點，拋物線與軸交點為，其頂點為，連接，點是線段上一個動點(不與、重合)，過點作軸的垂線，垂足為，連接。

①求拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標；

②如果點的坐標為()，的面積為，求與的函數關系式，寫出自變量的取值范圍，并求出的最大值；

③在②的條件上，當取得最大值時，過點作的垂線，垂足為，連接，把沿直線折疊，點的對應點為，請直接寫出點坐標，并判斷點是否在該拋物線上；

 

Answer 1

【答案】

①由知：時

即圖象過點

又∵圖象過點，

∴設 

將代入上式得：

∴

即為拋物線解析式。

其頂點為

①       設所在直線的解析式為 

將，代入

求得：

∴直線為：

∵在線段上，且不與重合   ∴

···

的取值范圍是

當時，取最大值，

③坐標為

將其代入等式不成立

∴點不在拋物線上。

【解析】（1）本題需先根據拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過（-1，0）B（3，0）兩點，分別求出a、b的值，再代入拋物線y=ax²+bx+3即可求出它的解析式．

（2）本題首先設出BD解析式y=kx+b，再把B、D兩點坐標代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據面積公式即可求出最大值．

（3）本題需先根據（2）得出最大值來，求出點P的坐標，得出四邊形PEOF是矩形，再作點P關于直線EF的對稱點設出MC=m，則MF=m．從而得出M與E的值，根據勾股定理，得出m的值，再由△EH∽△EM，得出EH和OH的值，最后求出的坐標，判斷出不在拋物線上．