Question

小曼和他的同學組成了“愛琢磨”學習小組，有一次，他們碰到這樣一道題：“已知正方形ABCD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG=FH．”為了解決這個問題，經過思考，大家給出了以下兩個方案：
方案一：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N；
方案二：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N．…
（1）對小曼遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個加以證明（如圖（1））．
（2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設AB=2，BC=3（如圖（2）），是探究EG、FH之間有怎樣的數量關系，并證明你的結論．
（3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設正方形ABCD的邊長為1，FH的長為（如圖（3）），試求EG的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N，利用正方形ABCD，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求證△ABM≌△ADN即可．
（2）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EC交CD的延長線于點N，利用在長方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求證△ABM∽△ADN．再根據其對應邊成比例，將已知數值代入即可．
（3）過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，將△AND繞點A順時針旋轉90°到△APB．從而求證△APM≌△ANM，得出PM=NM．再設DN=x，根據勾股定理列方程即可求解．
解答：解：（1）證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N，
∴AM=HF，AN=BC，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM=AN，即EC=FH


（2）結論：EG：FH=3：2
證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EC交CD的延長線于點N，
∴AM=HF，AN=EC，在長方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．
，
∵AB=2，BC=AD=3，
∴．

（3）解：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，
∵．
∴在Rt△ABM中，BM=．
將△AND繞點A順時針旋轉90°到△APB．
∵EG與FH的夾角為45°，
∴∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，
從而△APM≌△ANM，
∴PM=NM．
設DN=x，則NC=1-x，MN=PM=．
在Rt△CMN中，解得．
∴．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合性較強，難度較大，是一道難題．