Question

7．為了抓住世博會商機，某商店決定購進A、B兩種世博會紀念品，若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．
（1）求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？
（2）若該商店決定拿出4000元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數量不少于B種紀念品數量的6倍，且不超過B鐘紀念品數量的8倍，那么該商店共有幾種進貨方案？
（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）設我校購進一件A種紀念品需要a元，購進一件B種紀念品需要b元，根據條件建立二元一次方程組求出其解即可；
（2）設我校購進A種紀念品x個，購進B種紀念品y個，根據條件的數量關系建立不等式組求出其解即可；
（3）設總利潤為W元，根據總利潤=兩種商品的利潤之和建立解析式，由解析式的性質就可以求出結論．

解答 解：（1）設我校購進一件A種紀念品需要a元，購進一件B種紀念品需要b元，由題意，得
$\left\{\begin{array}{l}{10a+5b=1000}\\{5a+3b=550}\end{array}\right.$，
∴解方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{a=50}\\{b=100}\end{array}\right.$
答：購進一件A種紀念品需要50元，購進一件B種紀念品需要100元．

（2）設我校購進A種紀念品x個，購進B種紀念品y個，由題意，得
則$\left\{\begin{array}{l}{50x+100y=4000}\\{6y≤x≤8y}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=80-2y}\\{6y≤x≤8y}\end{array}\right.$，
解得：8≤y≤10
∵y為正整數
∴y=8，9，10
答：共有3種進貨方案；

（3）設總利潤為W元，由題意，得
W=20x+30y=20（80-2 y）+30y，
=-10y+4000（20≤y≤25）
∵-10＜0，
∴W隨y的增大而減小，
∴當y=8時，W有最大值
W_最大=-10×8+4000=3920（元）
答：當購進A種紀念品64件，B種紀念品8件時，可獲最大利潤，最大利潤是3920元．

點評 本題考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，列一元一次不等式解實際問題的運用，一次函數的性質的運用，解答時求出一次函數的解析式是關鍵．