Question

【題目】已知矩形OABC的邊長OA=4，AB=3，E是OA的中點，分別以OA、OC所在的直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系，直線l經過C、E兩點．

（1）求直線l的函數表達式；

（2）如圖2，在長方形OABC中，過點E作EG⊥EC交AB于點G，連接CG，將△COE沿直線l折疊后得到△CEF，點F恰好落在CG上．證明：GF=GA．

（3）在（2）的條件下求四邊形AGFE的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3；（2）見解析，（3）AGFE的面積是.

【解析】

（1）根據矩形的性質及中點的定義得出OC=AB=3，OE=2，進而得出E，C兩點的坐標，再用待定系數法即可求得直線l的函數表達式；
（2）根據矩形的四個角都是直角得∠COA=∠OAB=90°；根據折疊的性質得到∠COE=∠CFE=90°，OE=EF，進而得到∠EFG=∠EAG=90°；根據中點的定義得OE=AE，根據等量代換得出EF=EA，然后利用HL判斷出Rt△EFG≌Rt△EAG，根據全等三角形對應邊相等得出GF=GA；
（3）根據折疊的性質知OC=CF=3．根據線段的和差得出BG=AB-AG=3-AG，CG=CF+GF=3+GA，AE=2，在Rt△CBG中，由勾股定理得出關于AG的方程，求解得出AG的長，根據全等三角形的面積相等得出SRt△EFG=SRt△EAG，然后根據S四邊形AGFE=2SRt△EAG即可得出答案．

解：（1）∵矩形OABC的邊長OA=4，AB=3，E是OA的中點，

∴OC=AB=3，OE=2，

∴E（2，0），C（0，3）．

設直線l的解析式y=kx+b（k≠0）．

將E（2，0），C（0，3），分別代入y=kx+b得

，解得，

∴直線l的解析式y=x+3；

（2）∵四邊形OABC是矩形，

∴∠COA=∠OAB=90°．

又根據折疊是性質得到∠COE=∠CFE=90°，OE=EF，

∴∠EFG=∠EAG=90°．

又∵E是OA的中點，

∴OE=AE，

∴EF=EA，

∴在Rt△EFG和Rt△EAG中，

，

∴Rt△EFG≌Rt△EAG（HL），

∴GF=GA；

（3）由（2）知，GF=GA，根據折疊的性質知OC=CF=3．

∵BG=AB–AG=3–AG，CG=CF+GF=3+GA，AE=2，

∴在Rt△CBG中，由勾股定理得：

CG2=BC2+BG2，即（3+AG）2=（3–AG）2+42，解得AG=．

∵由（2）知，Rt△EFG≌Rt△EAG，

∴SRt△EFG=SRt△EAG，

∴S四邊形AGFE=2SRt△EAG=2×AE·AG=2××2×=，即四邊形AGFE的面積是．