Question

已知二次函數y=ax²+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：

（1）求二次函數的解析式；
（2）求以二次函數圖象與坐標軸交點為頂點的三角形面積；
（3）若A（m，y₁），B（m-1，y₂），兩點都在該函數的圖象上，且m＜2，試比較y₁與y₂的大�。�

Answer 1

分析：（1）由圖表可知：該拋物線的頂點坐標為（2，-2），可將該二次函數解析式設為頂點式，任取一點坐標代入即可求得該二次函數的解析式；
（2）令二次函數解析式中，y=0，可求得拋物線與x軸的交點坐標；令x=0，可求得拋物線與y軸的交點坐標；以拋物線與x軸兩交點間的距離為底，與y軸交點的縱坐標的絕對值為高，即可求得該三角形的面積；
（3）根據m的取值范圍，先確定A、B兩點位于拋物線對稱軸的哪一側，然后根據拋物線的開口方向以及函數的增減性來討論A、B的縱坐標的大小關系．

解答：解：（1）由表格知，二次函數頂點坐標為（2，-2），
設y=a（x-2）²-2，
又二次函數過點（0，2），
代入解得a=1，
∴二次函數為y=（x-2）²-2，
整理得y=x²-4x+2．

（2）二次函數y=x²-4x+2與y軸交于點（0，2），
令y=0得：x1=2+

2

，x2=2-

2

；
二次函數與x軸交于（2-

2

，0)，(2+

2

，0)，
求得三角形面積為

1

2

×2

2

×2=2

2

．

（3）∵對稱軸為直線x=2，圖象開口向上，
又∵m＜2，m＞m-1，
∴y₁＜y₂．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、圖形面積的求法以及二次函數的增減性等基礎知識；需要注意的是，在討論二次函數增減性的時候，一定要考慮到拋物線的對稱軸及開口方向．