Question

如圖，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，點D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點P．則下列結論：
（1）圖形中全等的三角形只有兩對；
（2）△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；
（3）CD+CE=OA；（4）AD²+BE²=2OP•OC．
其中正確的結論有（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：結論（1）錯誤．因為圖中全等的三角形有3對；
結論（2）正確．由全等三角形的性質可以判斷；
結論（3）正確．利用全等三角形和等腰直角三角形的性質可以判斷．
結論（4）正確．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理進行判斷．
解答：解：
結論（1）錯誤．理由如下：
圖中全等的三角形有3對，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性質，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．
在△AOD與△COE中，

∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可證：△COD≌△BOE．
結論（2）正確．理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_{四邊形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=S_△ABC，
即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．
結論（3）正確，理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．
結論（4）正確，理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，∴AD²+BE²=DE²．
∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，∴△DOE為等腰直角三角形，∴DE²=2OE²，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴，即OP•OC=OE²．
∴DE²=2OE²=2OP•OC，
∴AD²+BE²=2OP•OC．
綜上所述，正確的結論有3個，故選C．
點評：本題是幾何綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要幾何知識點．難點在于結論（4）的判斷，其中對于“OP•OC”線段乘積的形式，可以尋求相似三角形解決問題．