Question

甲、乙兩名同學在操場做游戲，他們先在地上畫出邊長為2m和3m的正方形（如圖1，小正方形含在大正方形內），然后蒙上眼睛在一定距離外向方格內擲小石子（投到各點的可能性相等），擲中陰影部分甲同學獲勝，否則乙同學獲勝（未擲入方格內不算）．
（1）如果你是裁判，你認為這個游戲公平嗎為什么
（2）游戲結束后，甲同學對乙同學說，我可以用這種方法來估算不規則圖形（如圖2）的面積，具體方法如下：
①先將不規則的圖形放在一個邊長為a的正方形中（如圖3），
②向正方形中隨意擲點，擲在正方形外不算，
③記錄并統計點數，當所擲點數較大時，設擲入正方形內m次，其中n次擲到不規則圖形中．于是我就可以估計出這個不規則圖形的面積了．
你認為甲同學的這種方法正確嗎如果正確，請你幫助甲同學計算出不規則圖形的面積，并說明他根據什么規律如果不正確，請說明理由．

Answer 1

分析：求出陰影部分的面積占總面積的比例即可解答．

解答：解：（1）不公平．（1分）
∵P（陰）=

9-4

9

=

5

9

，
即甲同學獲勝的概率為

5

9

，乙同學獲勝概率為

4

9

．
∵

5

9

＞

4

9

，∴游戲對雙方不公平．（6分）

（2）方法正確．（7分）
設不規則圖形的面積為S，
擲入不規則圖形內的頻率=

n

m

≈P（擲入不規則圖形內）=

S

a2

，
所以不規則的圖形面積S≈

a2n

m

．（9分）
當試驗次數較大時，試驗頻率穩定于理論概率（或頻率與概率的關系）．（10分）

點評：本題考查學生對簡單幾何概型的掌握情況，既避免了單純依靠公式機械計算的做法，又體現了數學知識在現實生活、甚至娛樂中的運用，體現了數學學科的基礎性．用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．