Question

【題目】如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點(端點除外)，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，

（1）求證：△ABQ ≌ △CAP；

（2）∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；

（3）連接PQ,當點P,Q運動多少秒時，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）無變化，∠CMQ=60 ；（3）t=s或s時, △PBQ是直角三角形.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質、三角形全等的判定定理證明；
（2）根據全等三角形的性質得到∠BAQ=∠ACP，根據三角形的外角的性質解答；
（3）分∠PQB=90°和∠PBQ=90°兩種情況，根據直角三角形的性質計算即可．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
∵點P、Q的速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP；
（2）解：∠CMQ的大小不發生變化，理由如下：
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°；
（3）解：設點P，Q運動x秒時，△PBQ是直角三角形，
則AP=BQ=x，PB=（4-x），
當∠PQB=90°時，
∵∠B=60°，
∴BP=2BQ，即4-x=2x，
解得，x=，
當∠PBQ=90°時，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，即2（4-x）=x，
解得，x=，
∴當點P，Q運動秒或秒時，△PBQ是直角三角形．