Question

【題目】已知，△ABC是邊長3cm的等邊三角形．動點P以1cm/s的速度從點A出發，沿線段AB向點B運動．
（1）如圖1，設點P的運動時間為t（s），那么t為何值時，△PBC是直角三角形；

（2）若另一動點Q從點C出發，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D．如果動點P，Q都以1cm/s的速度同時出發．
①如圖2，設運動時間為t（s），那么t為何值時，△DCQ是等腰三角形？
②如圖3，連接PC，請你猜想：在點P，Q的運動過程中，△PCD和△QCD的面積有什么關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當△PBC是直角三角形時，∠B=60°，

∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，

所以t=

（2）

解：①∵∠DCQ=120°，

當△DCQ是等腰三角形時，CD=CQ，

∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，

∵∠A=60°，

∴AD=2AP，

∴2t+t=3，

解得t=1（s）；

②相等，如圖所示：

作PE垂直AD，QG垂直AD延長線，則PE∥QG，

∴∠G=∠AEP，

在△EAP和△GCQ， ，

∴△EAP≌△GCQ（AAS），

∴PE=QG，

∴△PCD和△QCD同底等高，

所以面積相等

【解析】（1）當△PBC是直角三角形時，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；（2）①因為∠DCQ=120°，當△DCQ是等腰三角形時，CD=CQ，然后可證明△APD是直角三角形，即可根據題意求出t的值；②面積相等．可通過同底等高的三角形的面積相等即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)的相關知識才是答題的關鍵．