Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點．一次函數的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，與正比例函數的圖象交于點．

（1）求一次函數的解析式；

（2）在x軸上尋找點P，使得為等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；

（3）在直線AB上尋找點Q，使得，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）一次函數的解析式為；（2）點P的坐標為或或或；（3）點Q的坐標為或．

【解析】

（1）可先求得C點坐標，再利用待定系數法可求得一次函數的表達式；
（2）可設P（x，0），則可表示出CP、OP和OC，分CP=OP、CP=OC和OP=OC三種情況，分別得到關于x的方程，可求得P點的坐標；
（3）可設出Q點的坐標，從而可表示出CQ的長，由三角形的面積可得到關于Q點坐標的方程，可求得Q點的坐標．

(1)∵正比例函數的圖象過點，

∴，

∴點C的坐標為．

設直線AB的解析式為，

把A，C兩點的坐標代入可得，解得，

∴一次函數的解析式為．

(2)設P點坐標為，C點坐標為，

∴，，．

∵為等腰三角形，

∴有，和三種情況：

①當時，即，

解得：，此時點P的坐標為；

②當時，即，

解得：(舍去)或，此時點P的坐標為；

③當時，即，解得或，

此時點P的坐標為或．

綜上所述，點P的坐標為或或或．

(3)∵點Q在直線AB上，

∴設點Q的坐標為．

∵點C的坐標為，

∴．

∵在中，令可得，

∴點B的坐標為，∴，

∴，且．

如圖，過點O作于點D，

∴，即，

解得：，

．

,

∴，解得或．

當時， ，

當時，．

故點Q的坐標為或．