Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3經過A（-1，0），B（3，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點D在x軸負半軸上，若點D關于直線AC的對稱點E恰好在拋物線上，求點E的坐標；
（3）如圖2，將拋物線的頂點平移至原點，點R為y軸正半軸上一點，過R作不平行x軸的直線交拋物線于P、Q兩點，問是否存在點R使△OPQ的外心在PQ邊上？若存在，求點R的坐標？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式中，通過解方程組即可求出待定系數的值．
（2）設直線DE和直線AC的交點為F，顯然Rt△ADF和Rt△ACO相似，即∠ADF和∠ACO的正切、正弦、余弦值都相同，設AD=x，可由x表達出AF、DF的長，過E作EG⊥x軸于G，由于DE關于直線AC對稱，那么DE=2DF，然后根據∠ADE的三角函數值求出DG、EG的長，由此得出點E的坐標表達式，再代入拋物線的解析式中即可確定點E的坐標．
（3）拋物線在平移過程中，開口方向和大小不變，即二次項系數不變，可據此求出平移后的函數解析式，分別過P、Q作x軸的垂線，設垂足為M、N，首先根據拋物線的解析式設出P、Q兩點的坐標，若△OPQ的外心在PQ邊上，那么△POQ必為直角三角形，且∠POQ為直角，由此得出的結論為Rt△PMO、Rt△ONQ相似，根據對應的直角邊成比例可求出P、Q兩點橫、縱坐標的數量關系，利用待定系數法求出直線PQ的解析式后結合這個數量關系即可求出點R的坐標．

解答：解：（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-3中，得：

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得

a=1 b=-2

故拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）設直線AC與直線DE的交點為F，由題意知：DE⊥AF，且DE=2DF=2EF；
∵∠DAF=∠CAO，∴∠FDA=∠OCA；
在Rt△OAC中，OA=1、OC=3，則：AC=

10

，
∴sin∠FDA=sin∠OCA=

10

10

，cos∠FDA=cos∠OCA=

3 10

10

，tan∠FDA=tan∠OCA=

1

3

；
設AD=x，則：AF=AD•sin∠ADF=

10

10

x，DF=AD•cos∠ADF=

3 10

10

x，DE=2DF=

3 10

5

x；
過點E作EG⊥x軸于G，如右圖1；
在Rt△DEG中，EG=DE•sin∠ADF=

3 10

5

x•

10

10

=

3

5

x，DG=DE•cos∠ADF=

3 10

5

x•

3 10

10

=

9

5

x，
OG=DG-OD=

9

5

x-（x+1）=

4

5

x-1；
則：E（

4

5

x-1，

3

5

x），代入y=x²-2x-3=（x+1）（x-3）中，得：

4

5

x（

4

5

x-4）=

3

5

x，解得：x₁=0（舍）、x₂=

95

16

∴E（

15

4

，

57

16

）．

（3）由題意可知，平移后的拋物線解析式為：y=x²；
分別過P、Q作PM⊥x軸于M、QN⊥x軸于N，設P（-m，m²）、Q（n，n²），（m、n＞0），如右圖2；
若△OPQ的外心在PQ上，則△OPQ為直角三角形，且∠POQ為直角；
∴∠POM=∠OPN=90°-∠QON，
又∵∠PMO=∠ONQ=90°，∴△POM∽△OPN；
∴

PM

ON

=

OM

QN

，即：

m2

n

=

m

n2

，得：mn=1；
設直線PQ的解析式：y=kx+b，代入P、Q點的坐標，有：

-mk+b=m2…① nk+b=n2…②

①×n+②×m，得：
（m+n）b=mn（m+n），即：b=mn=1；
∴R（0，1）；
綜上，存在符合條件的R點，且坐標為（0，1）．

點評：這道題綜合考查了二次函數、函數圖象的平移規律、解直角三角形、軸對稱圖形的性質、直角三角形的外心位置以及相似三角形的應用等重要知識；（2）題需要找出關鍵銳角的三角函數值；最后一題的難度較大，通過構建相似三角形得到P、Q兩點橫、縱坐標的數量關系尤為重要．