Question

（2005•廣元）如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB、FC．
（1）求證：FB=FC；
（2）求證：FB²=FA•FD；
（3）若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證角相等來得出邊相等，根據ACBF是圓的內接四邊形，那么外角∠DAC=∠FBC，那么關鍵就是證明∠FCB=∠DAC，根據AD平分∠EAC，即∠EAD=∠DAC=∠FAB，我們發現∠FAB和∠FCB正好對應了同一段弧，因此便可得出∠FBC=∠FCB了；
（2）本題實際要證明△FBA和△FDB相似，（1）中已證得∠FAB=∠FCB=∠FBC，又有一個公共角，因此兩三角形就相似了；
（3）根據∠EAC=120°可以得到∠DAC=60°，根據AB是△ABC外接圓的直徑可以提出AC⊥BC，然后在直角三角形ABC中，有∠BAC的度數，有BC的長，就能求出AC的長，然后在直角三角形ACD中，根據∠ACD=60°，即可用三角函數求出AD．
解答：（1）證明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵四邊形AFBC內接于圓，
∴∠DAC=∠FBC，
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC；

（2）證明：∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD
∴△FBA∽△FDB，
∴，
∴FB²=FA•FD；

（3）解：∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB=90°
∵∠EAC=120°，
∴∠DAC=∠EAC=60°，
∵四邊形ACBF內接于圓，
∴∠DAC=∠FBC=60°，又FB=FC，
∴△BFC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BFC=60°，
∴∠D=30°，
∵BC=6，
∴AC=2，
∴AD=2AC=4．
點評：本題主要的考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，根據圓周角定理和圓的內接四邊形得出角相等是解題的關鍵，綜合性較強，對學生的要求比較高．