Question

已知拋物線y_n＝－(x－a_n)²＋a_n(n為正整數，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n)與x軸的交點為A_n－1(,0)和A_n(b_n,0)．當n＝1時，第1條拋物線y₁＝－(x－a₁)²＋a₁與x軸的交點為A₀(0,0)和A₁(b₁,0)，其他依此類推．

(1) 求a₁、b₁的值及拋物線y₂的解析式；
(2) 拋物線y₃的頂點坐標為(____，___)；依此類推第n條拋物線y_n的頂點坐標為(_____，_____)(用含n的式子表示)；所有拋物線的頂點坐標滿足的函數關系式是_____________；
(3) 探究下列結論：
①若用A_n－1 A_n表示第n條拋物線被x軸截得的線段的長，則A₀A_{1=______，}A_n－1 A_{n=____________}；
②是否存在經過點A₁(b₁,0)的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長度都相等？若存在，直接寫出直線的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）a₁=1，b₁=2，y₂=-（x-4）²+4；（2）（9，9），（n²，n²），y=x；（3）2，2n, y=x-2．

試題分析：（1）因為點A₀（0，0）在拋物線y₁=-（x-a₁）²+a₁上，可求得a₁=1，則y₁=-（x-1）²+1；令y₁=0，求得A₁（2，0），b₁=2；再由點A₁（2，0）在拋物線y₂=-（x-a₂）²+a₂上，求得a₂=4，y₂=-（x-4）²+4．
（2）求得y₁的頂點坐標（1，1），y₂的頂點坐標（4，4），y₃的頂點坐標（9，9），依此類推，y_n的頂點坐標為（n²，n²）．因為所有拋物線頂點的橫坐標等于縱坐標，所以頂點坐標滿足的函數關系式是：y=x．
（3）①由A₀（0，0），A₁（2，0），求得A₀A₁=2；y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，求得A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），所以A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n；
②設直線解析式為：y=kx-2k，設直線y=kx-2k與拋物線y_n=-（x-n²）²+n²交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）兩點，聯立兩式得一元二次方程，得到x₁+x₂=2n²-k，x₁•x₂=n⁴-n²-2k．然后作輔助線，構造直角三角形，求出EF²的表述式為：EF²=（k²+1）[4n²•（1-k）+k²+8k]，可見當k=1時，EF²=18為定值．所以滿足條件的直線為：y=x-2．
試題解析：（1）∵當n=1時，第1條拋物線y₁=-（x-a₁）²+a₁與x軸的交點為A₀（0，0），
∴0=-（0-a₁）²+a₁，解得a₁=1或a₁=0．
由已知a₁＞0，∴a₁=1，
∴y₁=-（x-1）²+1．
令y₁=0，即-（x-1）²+1=0，解得x=0或x=2，
∴A₁（2，0），b₁=2．
由題意，當n=2時，第2條拋物線y₂=-（x-a₂）²+a₂經過點A₁（2，0），
∴0=-（2-a₂）²+a₂，解得a₂=1或a₂=4，
∵a₁=1，且已知a₂＞a₁，
∴a₂=4，
∴y₂=-（x-4）²+4．
∴a₁=1，b₁=2，y₂=-（x-4）²+4．
（2）拋物線y₂=-（x-4）²+4，令y₂=0，即-（x-4）²+4=0，解得x=2或x=6．
∵A₁（2，0），
∴A₂（6，0）．
由題意，當n=3時，第3條拋物線y₃=-（x-a₃）²+a₃經過點A₂（6，0），
∴0=-（6-a₃）²+a₃，解得a₃=4或a₃=9．
∵a₂=4，且已知a₃＞a₂，
∴a₃=9，
∴y₃=-（x-9）²+9．
∴y₃的頂點坐標為（9，9）．
由y₁的頂點坐標（1，1），y₂的頂點坐標（4，4），y₃的頂點坐標（9，9），
依此類推，y_n的頂點坐標為（n²，n²）．
∵所有拋物線頂點的橫坐標等于縱坐標，
∴頂點坐標滿足的函數關系式是：y=x．

（3）①∵A₀（0，0），A₁（2，0），
∴A₀A₁=2．y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，即-（x-n²）²+n²=0，
解得x=n²+n或x=n²-n，
∴A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），即A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n．
②存在．
設過點（2，0）的直線解析式為y=kx+b，則有：0=2k+b，得b=-2k，
∴y=kx-2k．
設直線y=kx-2k與拋物線y_n=-（x-n²）²+n²交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）兩點，
聯立兩式得：kx-2k=-（x-n²）²+n²，整理得：x²+（k-2n²）x+n⁴-n²-2k=0，
∴x₁+x₂=2n²-k，x₁•x₂=n⁴-n²-2k．
過點F作FG⊥x軸，過點E作EG⊥FG于點G，則EG=x₂-x₁，
FG=y₂-y₁=[-（x₂-n²）²+n²]-[-（x₁-n²）²+n²]=（x₁+x₂-2n²）（x₁-x₂）=k（x₂-x₁）．
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF²=EG²+FG²，
即：EF²=（x₂-x₁）²+[k（x₂-x₁）]²=（k²+1）（x₂-x₁）²=（k²+1）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]，
將x₁+x₂=2n²-k，x₁•x₂=n⁴-n²-2k代入，整理得：EF²=（k²+1）[4n²•（1-k）+k²+8k]，
當k=1時，EF²=（1+1）（1+8）=18，
∴EF=3為定值，
∴k=1滿足條件，此時直線解析式為y=x-2．
∴存在滿足條件的直線，該直線的解析式為y=x-2．
考點: 二次函數綜合題.