Question

如圖所示，正三角形△A₁B₁C₁的面積為1，取△A₁B₁C₁各邊的中點A₂、B₂、C₂，作第二個正三角形△A₂B₂C₂，再取△A₂B₂C₂各邊的中點A₃、B₃、C₃，作第三個正三角形△A₃B₃C₃，…用同樣的方法作正三角形．則第4個正三角形△A₄B₄C₄的面積是

1

64

．

Answer 1

分析：先求前幾個三角形的面積，找出其中的規律，再求解．

解答：解：∵正三角形△A₁B₁C₁的面積為1，
而△A₂B₂C₂與△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
則面積的比是1：4，則正△A₂B₂C₂的面積是1×

1

4

；
因而正△A₃B₃C₃與正△A₂B₂C₂的面積的比也是1：4，面積是（

1

4

）²；
依此類推△A_nB_nC_n與△A_n-1B_n-1C_n-1的面積的比是1：4，第n個三角形的面積是（

1

4

）^n-1．
所以第4個正△A₄B₄C₄的面積是（

1

4

）³，
故答案是：

1

64

．

點評：本題考查了相似三角形的性質及應用，相似三角形面積的比等于相似比的平方，找出規律是關鍵．