Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸的兩個交點分別為A（1，0）、B（3，0），與y軸的交點為C．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）在x軸上方的二次函數圖象上，是否存在一點E使得以B、C、E為頂點的三角形的面積為？若存在，求出點E坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在，

【解析】

（1）設交點式y＝a（x﹣1）（x﹣3），化為一般式得到3a＝﹣3，解得a＝﹣1，從而得到拋物線解析式；

（2）先確定C（0，﹣3），作EF∥y軸交直線BC于F，如圖，利用直線平移得到直線BC的解析式為y＝x﹣3，設E（x，﹣x2+4x﹣3），則F（x，x﹣3），利用三角形面積公式得到S△BCE＝EF3＝﹣x2+x＝，然后解方程求出x即可得到滿足條件的E點坐標．

解：（1）拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），即y＝ax2﹣4ax+3a，

∵3a＝﹣3，解得a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+4x﹣3；

（2）存在．

當x＝0時，y＝﹣x2+4x﹣3＝-3，

∴C（0，﹣3），

作EF∥y軸交直線BC于F，如圖，

∵B（3，0），C（0，﹣3）；

得直線BC的解析式為y＝x﹣3，

設E（x，﹣x2+4x﹣3），則F（x，x﹣3），

∴EF＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x，

∴S△BCE＝EF3＝﹣x2+x，

即﹣x2+x＝，解得x1＝，x2＝

當x＝時，y＝﹣x2+4x﹣3＝，此時E點坐標為（，），

當x＝時，y＝﹣x2+4x﹣3＝，此時E點坐標為（，），

∵E在x軸上方，此情況不符合題意；

綜上所述，E點坐標為（，）．