Question

如圖1，△ABC內接于半徑為4cm的⊙O，AB為直徑，長為．

（1）計算∠ABC的度數；
（2）將與△ABC全等的△FED如圖2擺放，使兩個三角形的對應邊DF與AC有一部分重疊，△FED的最長邊EF恰好經過的中點M．求證：AF=AB；

（3）設圖2中以A、C、M為頂點的三角形面積為S，求出S的值．

Answer 1

（1）60°；（2）連結OM，過點F作于H，由AB為直徑可得∠ACB=90°，即可求得∠A的度數，再根據含30°角的直角三角形的可得到，由點M為的中點可得OM⊥AB且OM =AB，再根據△ABC與△FED全等可得∠A=∠EFD=30°，即可證得結論；（3）

試題分析：（1）連結OC，先根據弧長公式求得∠BOC的度數，再結合圓的基本性質求解即可；
（2）連結OM，過點F作于H，由AB為直徑可得∠ACB=90°，即可求得∠A的度數，再根據含30°角的直角三角形的性質可得到，由點M為的中點可得OM⊥AB且OM =AB，再根據△ABC與△FED全等可得∠A=∠EFD=30°，即可證得結論；
（3）連結AM、CM，過點M作MN⊥AC于點N，先根據含30°角的直角三角形的性質求得AC的長，在Rt△AMO中，根據勾股定理可求得AM的長，設MN=x，由∠MCN==45°可得MN=NC=x，在Rt△AMN中，根據勾股定理即可列方程求得x的值，最后根據三角形的面積公式求解即可.   
（1）連結OC

∵長為，⊙O的半徑為4cm
∴，解得n=60，即∠BOC="60"
∵OB=OC  
∴∠ABC=∠OBC=；
（2）連結OM，過點F作于H

∵AB為直徑   
∴∠ACB=90°  
∴∠A=180－90－60=30°
∴在Rt△FAH中，
∵點M為的中點   
∴OM⊥AB且OM=AB
∵△ABC與△FED全等  
∴∠A=∠EFD=30°
∴EF∥AB，OM=FH=AB
∴AF=AB；
（3）連結AM、CM，過點M作MN⊥AC于點N

在Rt△ABC中，AB=8，∠A=30° 
∴AC=4
在Rt△AMO中，
設MN="x" ，
∵∠MCN==45°   
∴MN=NC=x
在Rt△AMN中，   
即
解得，（舍去）
∴ 
∴．
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.