Question

【題目】如圖1中，△ABC為等腰三角形，AB=AC，點E為腰AB上任意一點，以CE為底邊作等腰△DEC．且∠BAC=∠EDC=α，連結AD：

(1)如圖2中，當α=60°時，∠DAC=______，=______；

(2)如圖3中，當α=90°時，求∠DAC的度數與的值；

(3)如圖1中，當BC=AC．∠DAC=___(用α的代數式表示)=___．

Answer 1

【答案】(1)60°，1；(2)∠DAC=45°，=(3)180°-2α，.

【解析】

(1)由三角形ABC與三角形CDE都為正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及內角為60°，利用等式的性質得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB與三角形DCA全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE=AD，即可求出所求之比；

(2)由三角形CDE與三角形ABC都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到CE=CD，BC=AC，以及銳角為45°，利用等式的性質得到∠ECB=∠DCA，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形ECB與三角形DCA相似，利用相似三角形對應邊成比例即可求出所求之比；

(3)仿照前兩問，以此類推得到一般性規律，求出所求之比即可．

解：(1)∵△ABC和△CDE都是正三角形，

∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AB=AC，CE=DC，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=60°-∠ACE，

∠DCA=∠DCE-∠ACE=60°-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

在△ECB和△DCA中，

，

∴△ECB≌△DCA(SAS)，

∴BE=AD，∠B=∠DAC=60°，

則=1；

故答案為：60°；1；

(2)∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，

∴∠B=∠ACB=∠DCE=45°，CE=DC，BC=AC，

∴，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-∠ACE，

∠ACD=∠DCE-∠ACE=45°-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴∠B=∠DAC=45°，

∴；

(3)依此類推，當BC=AC時，，理由為：

∵等腰△ABC和等腰△CDE中，

∴∠B=∠ACB=∠DCE，CE=DC，BC=AC，

∴，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴∠B=∠DAC=180°-2α，

∴．

故答案為：180°-2α；．