Question

【題目】如圖，⊙為的外接圓，，過點的切線與的延長線交于點，交于點，.

（1）判斷與的位置關系，并說明理由；

（2）若，求的長.

Answer 1

【答案】（1）OE∥BC.理由見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，根據已知條件可推出，進一步得出結論得以證明；

（2）根據（1）的結論可得出∠E=∠BCD，對應的正切值相等，可得出CE的值，進一步計算出OE的值，在Rt△AFO中，設OF=3x,則AF=4x，解出x的值，繼而得出OF的值，從而可得出答案．

解：（1） OE∥BC.理由如下：

連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCE=90 ，

∴∠OCA+∠ECF=90，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠CAB．

又∵∠CAB=∠E，

∴∠OCA=∠E，

∴∠E+∠ECF=90，

∴∠EFC=180O-(∠E+∠ECF) =90．

∴∠EFC=∠ACB=90 ，

∴OE∥BC．

(2)由(1)知，OE∥BC，

∴∠E=∠BCD．

在Rt△OCE中，∵AB=12，

∴OC=6，

∵tanE=tan∠BCD=，

∴．

∴OE2=OC2+CE2=62+82，

∴OE=10

又由（1）知∠EFC =90，

∴∠AFO=90．

在Rt△AFO中，∵tanA =tanE=，

∴設OF=3x,則AF=4x．

∵OA2=OF2+AF2，即62=(3x)2+(4x)2，

解得：

∴，

∴．