Question

（2013•莆田質檢）已知：拋物線y=

1

4

x2+1的頂點為M，直線l過點F（0，2）且與拋物線分別相交于A、B兩點．過點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為點C、D，連接CF、DF．
（1）如圖：
①若A（-1，

5

4

），求證：AC=AF； 
②若A（m，n），判斷以CD為直徑的圓與直線l的位置關系．并加以證明．
（2）若直線l繞點F旋轉，且與x軸交于點P，PC×PD=8．求直線l的解析式．

Answer 1

分析：（1）①利用勾股定理列式求出AF，即可得證；
②把A點坐標代入拋物線用m表示出n，然后利用待定系數法求一次函數解析式求出直線AB的解析式，與拋物線聯立求解得到點B的坐標，再利用勾股定理列式求出BF，得到BF=BD，過點B作BE⊥DF交x軸于E，根據等腰三角形三線合一的性質可得∠EBF=∠EBD，再利用“邊角邊”證明△BEF和△BED全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BFE=∠BDE=90°，全等三角形對應邊相等可得EF=ED，連接AE，利用“HL”證明△ACE和△AFE全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=CE，從而得到EF=

1

2

CD，然后根據直線與圓相切的定義解答；
（2）根據切割線定理可得PF²=PC•PD，再利用勾股定理列式求出OP的長，寫出點P的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式分兩種情況解答．

解答：（1）證明：①∵F（0，2），A（-1，

5

4

），
∴AF=

(-1-0)2+( 5 4 -2)2

=

5

4

，
又∵AC=

5

4

，
∴AC=AF；

②∵點A（m，n）在拋物線y=

1

4

x²+1，
∴n=

1

4

m²+1，
設直線AB得到解析式為y=kx+b（k≠0），
則

mk+b= 1 4 m2+1 b=2

，
解得

k= m 4 - 1 m b=2

，
∴直線AB的解析式為y=（

m

4

-

1

m

）x+2，
聯立

y=( m 4 - 1 m )x+2 y= 1 4 x2+1

，
解得

x1=m y1= 1 4 m2+1

（為點A坐標），

x2=- 4 m y2= 4 m2 +1

，
∴點B坐標為（-

4

m

，

4

m2

+1），
由勾股定理得，BF=

(- 4 m -0)2+( 4 m2 +1-2)2

=

( 4 m2 +1)2

=

4

m2

+1，
∴BF=BD，
過點B作BE⊥DF交x軸于E，
則∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，

BF=BD ∠EBF=∠EBD BE=BE

，
∴△BEF≌△BED（SAS），
∴∠BFE=∠BDE=90°，EF=ED，
∴EF⊥直線l，
連接AE，
在△ACE和△AFE中，

AE=AE AC=AF

，
∴△ACE≌△AFE（HL），
∴EF=CE，
∴EF=

1

2

CD，
∴點E為以CD為直徑的圓的圓心，以CD為直徑的圓與直線l相切；

（2）解：由切割線定理，PF²=PC•PD，
∵PC•PD=8，
∴PF²=8，
∴PO=

PF2-OF2

=

8-22

=2，
∴點P的坐標為（2，0）或（-2，0），
設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
當P（2，0）時，

2k+b=0 b=2

，
解得

k=-1 b=2

，
所以，直線l的解析式為y=-x+2，
當P（-2，0）時，

-2k+b=0 b=2

，
解得

k=1 b=2

，
所以，直線l的解析式為y=x+2，
綜上所述，直線l的解析式為y=-x+2或y=x+2．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了勾股定理，待定系數法求一次函數解析式，直線與圓的位置，切割線定理，本題難點在于（1）②作出EF并求出EF⊥直線l并且EF=

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2

CD，（2）要注意分情況討論．