Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；
（2）若方程的兩個根分別為x1、x2，且滿足x12+x22=31+x1x2，求實數m的值．

Answer 1

【答案】（1）m≥-；（2）2．

【解析】

（1）根據方程有實數根結合根的判別式，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出結論；
（2）利用根與系數的關系可得出x1+x2=2m+3、x1x2=m2+2，結合x12+x22=31+x1x2即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．

（1）∵方程x2-（2m+3）x+m2+2=0有實數根，
∴△=[-（2m+3）]2-4（m2+2）=12m+1≥0，
解得：m≥-．
（2）∵方程x2-（2m+3）x+m2+2=0的兩個根分別為x1、x2，
∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+x1x2，
∴(x1+x2)2-2x1x2=31+x1x2，即m2+12m-28=0，
解得：m1=2，m2=-14（舍去），
∴實數m的值為2．