Question

【題目】如圖，AB是⊙C的直徑，M、D兩點在AB的延長線上，E是⊙C上的點，且DE2＝DB· DA.延長AE至F，使AE＝EF，設BF＝10，cos∠BED=.

(1)求證：△DEB∽△DAE；

(2)求DA，DE的長；

(3)若點F在B、E、M三點確定的圓上，求MD的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析； (2)DA=，DE=；(3)MD＝.

【解析】

(1)根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似進行判定即可；

(2)由直徑所對的圓周角是直角可得BE⊥AF，再根據中垂線的性質可得AB=BF=10，由△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=，可得cos ∠EAD = ，在Rt△ABE中，解直角三角形可求得AE的長，BE的長，再由△DEB ∽△DAE，根據相似三角形的對應邊成比例可得 ， 結合DB=DA-AB即可求得AD、DE的長；

(3)連接FM，根據∠BEF＝90°，根據90度角所對的弦是直徑可確定出BF是B、E、F三點確定的圓的直徑，再根據點F在B、E、M三點確定的圓上，可得四點F、E、B、M在同一個圓上，繼而確定出點M在以BF為直徑的圓上，在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝可求得AM的長，再根據MD＝DA－AM即可求得答案.

(1)DE2＝DB·DA，

∴，

又∵∠D＝∠D，

∴△DEB∽△DAE；

(2)∵AB是⊙C的直徑，E是⊙C上的點，

∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，

又∵AE=EF，BF=10，

∴AB=BF=10，

∵△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=，

∴∠EAD=∠BED，cos ∠EAD =cos ∠BED=，

在Rt△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝，得AE=ABcos∠EAD=8，

∴，

∵△DEB ∽△DAE，

∴，

∵DB=DA-AB=DA-10，

∴，解得，

經檢驗，是的解，

∴DA=，DE=；

(3)連接FM，

∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，

∴BF是B、E、F三點確定的圓的直徑，

∵點F在B、E、M三點確定的圓上，即四點F、E、B、M在同一個圓上，

∴點M在以BF為直徑的圓上，

∴FM⊥AB，

在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝得

AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×＝，

∴MD＝DA－AM＝.