Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：如圖1，在正方形中，點是對角線上的一點，點在的延長線上，且，交于點．問題解決：

（1）求證：；

（2）求的度數；

探索發現：

（3）如圖2，若點在邊上，且，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）90°；（3）90°

【解析】

（1）證明，利用全等三角形的性質等量代換即可得到結論；

（2）利用全等三角形的性質和等腰三角形的性質證得，又知，然后在△EDG和△CFG中利用三角形的內角和定理即可得出；

（3）過點作，，先證得四邊形是正方形，然后證出，根據全等三角形的對應角相等，利用角的和差關系變形即可得出答案.

（1）證明：∵四邊形是正方形，

∴，．

在和中，

∴．

∴．

∵，

∴．

（2）解：由（1）知，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵（對頂角相等），

∴．

即．

（3）解：過點作，，垂足分別為，．

∴．

同（1）可證，

∴，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴，

又∵，

∴四邊形是正方形，

∴，，

∵，

∴，

∴．

∴，

∴．