Question

在半徑為4的⊙O中，點C是以AB為直徑的半圓的中點，OD⊥AC，垂足為D，點E是射線AB上的任意一點，DF∥AB，DF與CE相交于點F，設EF=x，DF=y．
（1）如圖1，當點E在射線OB上時，求y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域；
（2）如圖2，當點F在⊙O上時，求線段DF的長；
（3）如果以點E為圓心、EF為半徑的圓與⊙O相切，求線段DF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由OD⊥AC得D是AC的中點，則F也是CE的中點，CE=2x，OC=4，DF=y，OE=2y-4，在Rt△COE中，由勾股定理得出y與x之間的關系．
（2）連接OC、OF，由EF=

1

2

CE=OF=4求得CE，再求得OE、AE，則DF即可求出．
（3）此題需分兩種情況：當⊙E與⊙O外切于點B時、當⊙E與⊙O內切于點B時及當⊙E與⊙O內切于點A時分別求出DF的值．

解答：解：（1）連接OC．

∵在⊙O中，AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴CD=AD．
∵DF∥AB，
∴CF=EF．
∴DF=

1

2

AE=

1

2

（AO+OE）．
∵點C是以AB為直徑的半圓的中點，
∴CO⊥AB．
∵EF=x，AO=CO=4，∴CE=2x，OE=

CE2-OC2

=

4x2-16

=2

x2-4

．
∴y=

1

2

（4+2

x2-4

）=2+

x2-4

．定義域為x≥2；

（2）當點F在⊙O上時，連接OC、OF．

EF=

1

2

CE=OF=4，
∴OC=OB=

1

2

AB=4．
∴DF=2+

42-4

=2+2

3

．

（3）當⊙E與⊙O外切于點B時，BE=FE．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（x+4）²=4²，3x²-8x-32=0，
∴x₁=

4+4 7

3

，x₂=

4-4 7

3

（舍去）．
∴DF=

1

2

（AB+BE）=

1

2

（8+

4+4 7

3

）=

14+2 7

3

．
當⊙E與⊙O內切于點B時，BE=FE．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，3x²+8x-32=0．
∴x₁=

-4+4 7

3

，x₂=

-4-4 7

3

（舍去）．
∴DF=

1

2

（AB-BE）=

1

2

（8-

-4+4 7

3

）=

14-2 7

3

．
當⊙E與⊙O內切于點A時，AE=FE．∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，3x²+8x-32=0．
∴x₁=

-4+4 7

3

，x₂=

-4-4 7

3

（舍去）．
∴DF=

1

2

AE=

2 7 -2

3

．

點評：此題考查了切線的性質、勾股形里及中位線的性質等內容，綜合性強，難度大．