Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy，已知二次函數y=﹣x2+bx的圖象過點A（4，0），頂點為B，連接AB、BO．

（1）求二次函數的表達式；

（2）若C是BO的中點，點Q在線段AB上，設點B關于直線CQ的對稱點為B'，當△OCB'為等邊三角形時，求BQ的長度；

（3）若點D在線段BO上，OD=2DB，點E、F在△OAB的邊上，且滿足△DOF與△DEF全等，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的表達式為y=﹣x2+2x；（2）BQ=；（3）點E的坐標為：（，0）或（，）或（2+，2﹣）或（4，0）．

【解析】

試題（1）利用待定系數法求二次函數的表達式；

（2）先求出OB和AB的長，根據勾股定理的逆定理證明∠ABO=90°，由對稱計算∠QCB=60°，利用特殊的三角函數列式可得BQ的長；

（3）因為D在OB上，所以F分兩種情況：

i）當F在邊OA上時，ii）當點F在AB上時，

當F在邊OA上時，分三種情況：

①如圖2，過D作DF⊥x軸，垂足為F，則E、F在OA上，②如圖3，作輔助線，構建△OFD≌△EDF≌△FGE，③如圖4，將△DOF沿邊DF翻折，使得O恰好落在AB邊上，記為點E；當點F在OB上時，過D作DF∥x軸，交AB于F，連接OF與DA，依次求出點E的坐標即可．

試題解析：（1）將點A的坐標代入二次函數的解析式得：﹣×42+4b=0，解得b=2，

∴二次函數的表達式為y=﹣x2+2x．

（2）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，

∴B（2，2），拋物線的對稱軸為x=2．

如圖1所示：

由兩點間的距離公式得：OB= =2，BA= =2．

∵C是OB的中點，

∴OC=BC=．

∵△OB′C為等邊三角形，

∴∠OCB′=60°．

又∵點B與點B′關于CQ對稱，

∴∠B′CQ=∠BCQ=60°．

∵OA=4，OB=2，AB=2，

∴OB2+AB2=OA2，

∴∠OBA=90°．

在Rt△CBQ中，∠CBQ=90°，∠BCQ=60°，BC=，

∴tan60°= ，

∴BQ=CB=×=．

（3）分兩種情況：

i）當F在邊OA上時，

①如圖2，過D作DF⊥x軸，垂足為F，

∵△DOF≌△DEF，且E在線段OA上，

∴OF=FE，

由（2）得：OB=2，

∵點D在線段BO上，OD=2DB，

∴OD=OB= ，

∵∠BOA=45°，

∴cos45°= ，

∴OF=ODcos45°= =，

則OE=2OF=，

∴點E的坐標為（，0）；

②如圖3，過D作DF⊥x軸于F，過D作DE∥x軸，交AB于E，連接EF，過E作EG⊥x軸于G，

∴△BDE∽△BOA，

∴ =，

∵OA=4，

∴DE=，

∵DE∥OA，

∴∠OFD=∠FDE=90°，

∵DE=OF=，DF=DF，

∴△OFD≌△EDF，

同理可得：△EDF≌△FGE，

∴△OFD≌△EDF≌△FGE，

∴OG=OF+FG=OF+DE=+=，EG=DF=ODsin45°=，

∴E的坐標為（，）；

③如圖4，將△DOF沿邊DF翻折，使得O恰好落在AB邊上，記為點E，

過B作BM⊥x軸于M，過E作EN⊥BM于N，

由翻折的性質得：△DOF≌△DEF，

∴OD=DE=，

∵BD=OD=，

∴在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE= =，

則BN=NE=BEcos45°=×=，

OM+NE=2+，BM﹣BN=2﹣，

∴點E的坐標為：（2+，2﹣）；

ii）當點F在AB上時，

過D作DF∥x軸，交AB于F，連接OF與DA，

∵DF∥x軸，

∴△BDF∽△BOA，

∴ ，

由拋物線的對稱性得：OB=BA，

∴BD=BF，

則∠BDF=∠BFD，∠ODF=∠AFD，

∴OD=OB﹣BD=BA﹣BF=AF，

則△DOF≌△DAF，

∴E和A重合，則點E的坐標為（4，0）；

綜上所述，點E的坐標為：（，0）或（，）或（2+，2﹣）或（4，0）．